Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Ein Problem der unbestimmten Analysis. 327
Will man eine gegebene Zahl N in drei Trigonalzahlen, deren
Grundzahlen zusammengenommen eine gegebene Zahl c ergeben, zerlegen, so mufs man den beiden Gleichungen
x x 2 ~- 2+ 2+
c ==x+ y + z
Genüge leisten. Offenbar ist aber diese Aufgabe in der soeben gelösten enthalten. Man mufs nämlich a = 8N — 3, b ==2c+- 3 setzen
und erhält, nachdem man die Werte von t, u, v gefunden hat, die... 1 t -l z-1 v-1
von x, y, z, nämlich x 2' y 2, -= -2
Ist z. B. N= 1000 und c = — 59, so hat man a - 8003 und
b - 121, und hieraus ergiebt sich nach dem zweiten Beispiel x-=41,
y = 16, z =2. Man hat nämlich:
1 41 42 16. 17 2.3
1000- 2 + - 2
59 = 41 + 16 + 2.
624.
Wir gehen jetzt zur allgemeinen Auflösung der Gleichungen (1) über. Dieselben ergeben zunächst das folgende bemerkenswerte Resultat:
4a - b = (s + t-u - v)2 + (S + - t -- )2 + (s + v -- t - )2,
aus welchem man erkennt, dafs 4a - b2 in drei Quadrate zerlegbar
sein mufs, und dafs somit eine notwendige Bedingung für die Möglichkeit der Aufgabe die ist, dafs 4a - b2 nicht von der Form
4k(8n + 7) sein darf.
Ist 4a -2 nicht von dieser Form, so ist es stets auf eine oder
mehrere Arten möglich, der Gleichung
4a - b2 = x2 + y2 + z2
zu genügen. Man kann daher x, y, z als bekannt ansehen und erhält, wenn man annimmt, dafs s, t, u, v ebenso wie x, y, z ihrer
Gröfse nach geordnet seien, zur Bestimmung von s, t, u, v die vier
Gleichungen:
s + t + u + v b
s +- t - - v = x
s + u - t v = y
s + ~v - t - U + z.