Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

20 Vierter Hauptteil.
aber, dafs diese Potenzen nicht den Rest + 1 lassen; mithin wäre
64," ebenfalls die vollstindige Lösung derselben Gleichung gewesen.
345.
Satz 3. Ist die Gleichung x2n + l = J(a) gegeben, in
welcher a eine Primzahl und 4n ein Teiler von a - 1 ist,
so löse man zunächst die Gleichung x4n - 1 = -(a), welche
stets möglich ist, auf. Ist x = -'L die vollständige Lösung
dieser, so behaupte ich, dafs die vollständige Lösung der
gegebenen x - 2i+1 ist, wo i eine beliebige Zahl bedeutet.
Denn da fm ein beliebiger Wert von x in der Gleichung
X4' -- 1 = JI(a) ist, so ist auch l22l ein beliebiger Wert von x in
der Gleichung x2n - 1 = — J(a). Es bleiben daher die ungeraden
Potenzen von a als Auflösung der Gleichung x2' + 1 == 9(a) üibrig.
346.
Beispiel.
Es sei die Gleichung x3G + 1 == - (433) gegeben, welche auflösbar ist, weil 433 -- durch 36 geteilt die gerade Zahl 12 als
Q uotienten ergiebt.
Urn diese Gleichung aufzulösen, bedienen wir uns der Gleichung:
x72 - l 9 1 (433).
Dieselbe ergiebt x =- 6. Ist u - 5, so erhält man u" oder x gleich
37. Wird dieser Wert a genannt, so hat man 36 = - 1, a24 = 198.
Mithin ist &m dem zweiten und dritten Teile des Satzes 2 zufolge die
vollständige Lösung der Gleichung x72 — 1 =?(433), und somit
ü2i:+ I diejenige der gegebenen Gleichung 36 + 1- I = (433). Die
sechsunddreifsig Lösungen, welche sich daraus ergeben, sind folgende:
x 372ti = + 37, + 8, +127, +203, + 79, + 99,
+ 2, + 140, + 159, + 128, + 133, + 216,
+ 35, +148, + 32, + 75, + 54, ~ 117.
Dieselben Werte würden einfacher in der Formel x - 22i+ 1 enthalten sein.
347.
Satz 4. Es sei die Gleichung xn - b -= (a) gegeben,
a-1 1
in welcher bt1 — +. und ml ein Teiler von ist.
Sind dann 1) in und n prim zu einander und sucht man