Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Ein Problem der unbestimmten Analysis. 325
620.
In diesem Falle haben wir die Gleichungen aufzulösen:
b = t2 + U2 + v2
(2)
(2) /b=t +u +v,
und die Bedingungen dafür, dafs dies möglich sei, sind folgende:
Erstens: Es darf a nicht von der Form 4k(8n + 7) sein; denn
man weifs, dafs keine Zahl von dieser Form gleich der Summe von
drei Quadraten ist.
Zweitens: Die Zahl b mufs stets von derselben Art wie a sein;
ferner aber mufs, in diesem Falle, b zwischen den Grenzen j/a und
1/3a liegen. Denn wenn die drei Zahlen t, u, v einander gleich
wären, so würde a = 3t2, b = 3t, also b -= /3 a sein; dies ist der
gröfste Wert von b; der kleinste Wert ist, wie im allgemeinen Falle,
b = /a.
Nachdem dieses festgestellt ist, mufs wenigstens eine der drei
Zahlen t, U, v von derselben Art wie a sein. Ist t diese Zahl, so
müssen die beiden andern u und v alle beide gerade oder alle beide
ungerade sein. Setzt man also:
u - v = 2p, u - v = 2q,
also:
u-p +- q, v =p q, t b - 2p,
so hat man nur noch die Gleichung
a == (b - 2)2 + (p + q)2 + (p - q)2,
oder die folgende
3a c ---b
23 = (3p- )2+ 3q2
zu befriedigen.
Hieraus sieht man, dafs die dritte, für die Möglichkeit der
Lösung erforderliche Bedingung die ist, dafs sich die Zahl 3-2b
2
auf die Form x2 — 3y2 bringen lassen mufs. Dies findet statt, wenn
3a-b2
-2a ~nur einfache Faktoren von der Form 6n + 1 besitzt, zu
denen noch der Faktor 3 hinzutreten kann, wenn b durch 3 teilbar
ist, und der Faktor 4, wenn a die Form 8n + 3 besitzt, oder wenn
a durch 4k teilbar ist, in welchem Falle b durch 2k teilbar sein mufs.
Hat man daher:
3 a. b
3(t-b2
o 2 _,q.