Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

Sechster Hauptteil.
Beweis verschiedener Sätze aus der nnbestimmten Analysis.
~ 1.
Es wird die Aufgabe gestellt, eine gegebene Zahl in vier Quadrate
zu zerlegen, derart, dafs die Summe ihrer positiv genommenen
Wurzeln gleich einer gegebenen Zahl ist.
619.
Die Aufgabe besteht allgemein darin, den beiden Gleichungen
a - s2 + t2 + z2 + v2
b =-s + t + + v,
in welchen a und b gegebene Zahlen sind und die vier Wurzeln
s, t, u, v positiv vorausgesetzt werden, Gengiie zu leisten.
Zunächst bemerken wir, dafs, weil x +- x stets eine gerade Zahl
ist, auch a - b eine gerade Zahl sein mufs, und dafs somit die
gegebenen Zahlen a und b von derselben Art d. h. entweder
beide gerade oder beide ungerade sein müssen.
Wenn ferner die vier Zahlen s, t, t, v einander gleich wären,
so würde a = 4s2, b = 4s, also b = ]/4a sein, und wenn von diesen
vier Zahlen drei gleich Null wären, so würde man a = s2, b = s
also b- = /a haben. Mithin mufs allgemein b stets zwischen den
Grenzen }/a und J/4a enthalten sein.
Diese Bedingungen sind nicht die einzigen, welche stattfinden
müssen, wenn die Aufgabe möglich sein soll. Bevor wir dieselbe
jedoch in ihrer ganzen Allgemeinheit betrachten, wollen wir zunächst den Fall untersuchen, wo eine der Zahlen s, t, zU, v
gleich Null ist.