Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X=O zu gelangen. 321
Setzt man also:
1
M =- n (cos 0 + V- 1 sin 0) und R = cos + / —1 sin it,
so erhält man zur Bestimmung von 0 die beiden Gleichungen:
1
n2 cos = 1 - 4 cos 2i -- 1
1
si2 -4sin 0 4 sin 2 -4.
Oben hatten wir aber gefunden:
1 1
n2 cos ' = -- 1, n2 sinl ' =' 4,
mithin ist:
Hiernach erhält man aus der Gleichung TT' - IMT":
" = G) + G-)' -- G0 += o G- -- Ö' +- Z:
oder:
oe 3 -- 3co - - - 9' + - t.
Somit sieht man, dafs der zweite der oben gefundenen beiden Werte
gelten m.ufs, nämlich:
G" =3o 3 - -- ' + n: = 85038' 52", 32.
Bildet man jetzt die Summe der drei Gröfsen T, T' T" und der
drei inversen TvI, TT TIv, und addiert man zu dieser Summe
T"' = n2 und TVII - 1, so erhält man die Formel:
4 1l
8, + 8 n (os o + cos o' + cosW ").
p = -- 8-F — - + O
Berechnet man diese Formel mrit Hülfe der fir co,, m)" gefundenen
Werte, so findet man:
1) cos 27 = 0,93247223.
Dieser Cosinus unterscheidet sich nur wenig von dem wahren Werte
von cos -17 welcher 0,93247217 ist. Man erkennt hieraus, dafs
die mit Hülfe der streng richtigen Werte von 9 und 9' berechnete
Formel den genauen Wert von 2 cos 17 ergeben würde.
617.
Setzt man in der Formel co- + i oder o- + 450 an die Stelle von co, so
mufs man io' um 900 und ce" um 1350 vermehren, wodurch sich ergiebt:
L e g edre, Zahlelntheolie II. 21