Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X=O zu gelangen. 317
ist, giebt es nur sieben solcher Produkte, welche diese Bedingung
erfüllen, nämlich:
ppVI _VI ~p', p)',pIV, pIV, pVpVY~ II) P'II' p"'p
Jedes Produkt plUpv giebt an A den Koefficienten 2R't"+ ab, und
die Summe dieser Koefficienten giebt in dem Werte von A den Teil:
2/G + 21I7 + 2P5 + 2E9 + 2R 2 12 + 21R10 + 2P15.
Vereinigt man also diese beiden Teile, so erhält man den vollständigen Wert von A, nämlich:
(2 ( +A {2 + +E 1 + _12 + s -sR- R10 + - R2 l14) + R4
+ 4r + 2RG2 + 2R7 + 2 9 + 2R1~ + 2R12.
613.
Aus dem Vorhergehenden weifs man, dafs man nicht blofs den
Wert von A, sondern auch die Gröfsen A', A, A"',... A kennen
mufs, welche aus A dadurch, dafs man PR2, R3, R4,... R7 an die
Stelle von R setzt, also nach demselben Gesetze entstehen, nach
welchem die Funktionen T', T", T T',.. T1 aus T hervorgehen. Man
mufs daher die Formel (2) als Repräsentant von sieben verschiedenen
Gröfsen A, A', A",... AVI ansehen, welche aus den angegebenen Substitutionen entspringen. Hinsichtlich aller dieser Gröfsen, mit alleiniger
Ausnahme von A"', kann man aber den Teil
- 2 (t + l + R2 + +.. + 114)
gleich Null setzen, weil dieser Teil mit 1 - R2 (welches nur verschwindet, wenn man, um A' zu erhalten, R4 für R setzt) multipliciert zum Produkte - 2 (1 - R1) = 0 giebt. Mithin reduciert
sich der Wert von A in allen Fällen, um welche es sich handelt
(den Fall von A"' allein ausgenommen), auf die einfache Form:
A = R1 - 4PR5 + 2R + 2R7 + 2 9 + 2l10 + 2R12.
Wird diese von neuem mittelst der Gleichung R8 = 1 oder, nach
Ausschliefsung der Wurzel R-1l1, mittelst der Gleichung
0 = 1 + -R2 +.. + 7
reduciert, so erhält man:
(3) A = - 2 -2R3 + R + 25.
Diese sehr einfache Formel wird uns der Reihe nach die Werte
von A, A', A", AIv, Av und AvI liefern. Was den Wert von A'
angeht, so mufs derselbe unmittelbar aus der Formel (2) abgeleitet
werden, indem man R4 d.i. -1 an die Stelle von R setzt; denn die