Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Sätze iber die Auflösung der Gleichung xn - b = ay in ganzen Zahlen. 19
XA, - 1= (X(a), -X' - 1 J(a), x"' - 1 = MJ(a),...
fir sich auf. Sind x -= — A, x = A X, x = — il ",... die vollständigen Lösungen dieser Gleichungen, so behaupte ich, dafs, wenn man = - A2 ' A"...
setzt, die Formel x =- " die vollständige Lösung der gegebenen Gleichung ist. Von diesem Hülfsmittel kann man Gebrauch machen,
falls man nicht sofort mittelst der Formel x =-u"' auf die Zahl e
gekommen ist, welche alle Lösungen giebt.
343.
Erstes Beispiel.
Es sollen die sieben Werte gefunden werden, welche x in der
Gleichung x7 - 1 = — 9(379) haben kann.
Da 379 - = 7-54 ist, so hat man x = — 4, wo u eine beliebige
durch 379 nicht teilbare Zahl ist. Ist u = 2, so erhält man, indem
man der Reihe nach die Vielfachen von 379 wegläfst:
6 ==64, U12= - 73, 24 = 23, l8 - 150, u -125.
Mithin ist x = 125, ind da der Exponent 7 eine Primzahl ist, so
sind alle Werte von x in der Formel x = 125m enthalten, und diese
liefert die sieben Zahlen:
1, 125, 86, 138, - 184, 119, 94.
Da der kleinste Wert von x gleich 86 ist, so sieht man, dafs es
überaus langwierig gewesen wäre, wenn man die Werte von x durch
Probieren hätte suchen wollen, indem man nach und nach x =-+ 1,
1- 2, -1 3,... setzte.
344.
Zweites Beispiel.
Ist die gegebene Gleichung x" - 1 == 9- (379), so kann man nach
No. 342 die Gleichungen x9 - 1 -== (379) und x7 - 1 = (379)
auflösen. Da diese x=1801" und x= 125TM als vollständige Lösungen
besitzen, so erhält man daraus als die vollständige Lösung der gegebenen Gleichung: x = (180 125)m = 139m. Nun läfst aber das
Quadrat von 139 bei der Division durch 379 den Rest - 8; folglich
hat man einfacher x =(- 8)m.
Dieselbe Gleichung hätte unmittelbar nach dem ersten Teile des
Satzes 2 ergeben: x =- u. Ist u = 2, so hat man x = 64, und da
3 und 7 die Primteiler von n = 63 sind, so mufs man nachsehen,
ob nicht etwa 6421 und 649 den Rest + 1 geben. Nun findet man
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