Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

316 Fünfter Hauptteil.
Mit Rücksicht auf die Anwendungen, welche wir davon zu machen
haben, können wir diese nämlichen Wurzeln auch nach der Reihenfolge der Exponenten von r ordnen, wie folgt:
p rl + 1-~', pV = r5 + r-5
pviT. + r-2 pVII=.6 + r-6
v( )p =' r3 +r-3, ' = r7+ -7
1IV r4 +_ r-4 =-) r8 + r-8.
612.
Wir setzen wie gewöhnlich:
T =-p p+ p'R+ "12 + " 3 +.. + 2VII7,
wo R eine imaginäre Wurzel der Gleichung R - 1 0 bedeutet,
und zwar soll diese Wurzel derart gewiählt sein, dafs sie mittelst
ihrer aufeinanderfolgenden Potenzen alle Wurzeln eben dieser Gleichung giebt. Derart ist z. B. die Wurzel == cos - ]+/- 1 sin t,
wenn man u -- 8 450 setzt.
Ebenso bezeichnen wir durch T', T"', TV, TV, TVI diejenigen Funktionen, in welche T übergeht, wenn man in ihr der
Reihe nach R12,, R3, 124, 5 6, R7 für 1 setzt.
Wir haben nun allgemein gesehen, dafs die Gröfse A in der
Gleichung T2 = AT' eine Funktion von n allein und unabhängig
von den Wurzeln p sein mufs, und dafs somit A gleich dem Koefficienten von p in dem entwickelten und auf die lineare Form
Ap + Bp' + Cp" +-... gebrachten Werte des Quadrates T2 ist.
In dieser Entwicklung müssen wir zuerst den Teil
p2 + 2)2 R+ p"2 4 + )4 +IV2 R6+ I S + 7210 + pVI2 R12 +V 1)II2 114
betrachten und in demselben die Werte p2 = 2 +t, p'1 == 2 + p,
p"' == 2 + -p',. substituieren. Da das in jedem dieser Glieder vorkommende konstante Glied 2 gleichwertig ist miit-2p 2p'- 2p"- *.,
so ist ersichtlich, dafs die aus diesem ersten Teil der Entwicklung
von T2 herrührenden Glieder von A die folgenden sind:
- 2(1 + 12 +- 4 +- R6 + + R14) + ER4.
Der zweite Teil der Entwicklung von T2 besteht aus einer Rleihe
von Gliedern von der Form 2pep1t1,"+"; von diesen Gliedern aber
brauchen wir nur die in Betracht zu ziehen, in denen das Produkt
p,'p" die Wurzel p enthält, und wie aus dem System (1) zu ersehen