Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem Auflösung der Gleichung X= 0 zu gelangeu. 315
Hierin ist Q = o + 4m und mI + 1 giebt an, die wievielste Stelle
2i in der Reihe 18, 14, 20,... einnimmt, wie aus folgendem Schema
zu ersehen ist:
2i=18, 14,20,30, 4;6, 32,34,10,26; 2,38,16,24, 36;28, 40,22, 8,12;
m== 0, 1, 2, 3,4;5, 6, 7, 8, 9;10,11,12,13,14; 15,16,17,18,19.
2 7r
Soll z. B. die Formel den Wert von 2 cos 41 darstellen, so
mufs man in = 10 und Q w=- + 10 == o3 + setzen. Hierdurch
ergiebt sich das folgende Resultat:
2r
2 cos
41
~ 1 -0 + - 2 + 2 [ cos o + cos(2 Co + o') - co (3 + ")
+ cos (4co + ") - ).. - cos (9 +- aVIII)].
Diese verschiedenen Beispiele, für welche wir die Rechnungen
mit der ganzen erforderlichen Ausführlichkeit angegeben haben
beweisen, dafs es stets möglich ist, eine allgemeine Formel
zu finden, welche alle Wurzeln der Gleichung in p enthält
und nach Belieben irgend eine derselben liefert. Aus diesen Wurzeln
kann man dann auch alle Wurzeln der Gleichung X = 0 finden,
wenn n eine beliebige Primzahl ist.
611.
Viertes Beispiel. n ==17, k- = 8.
Obgleich die Auflösung dieses Beispiels bereits in Artikel 535
gegeben worden ist, dürfte es doch nicht unnützlich sein zu zeigen,
wie unsere neue Methode zu einer allgemeinen Formel führt, welche
in der einfachsten Form sämtliche Wurzeln der aufzulösenden Gleichung enthält. Diese Gleichung lautet:
0 =p +p7- 76 - 6p5 154+ 54 + 1p- 10p2 - 4p + 1,
und wir nehmen wie gewöhnlich an, dafs ihre Wurzeln p, p, ",... pvn
seien. Nimmt man den Wert g = 3 als primitive Wurzel von 17,
so bezeichnen diese Wurzeln die acht Perioden von zwei Gliedern
(2:1), (2:g), (2:g2),...(2:g7), und müssen dieselben daher in der
folgenden Reihenfolge angeordnet werden:
= r3 + r-, pV =_ r5 + r-4
p =r3~r3 3 v =r5 r"-5
p'_ = r + r-8 pVI r2 +4 r-2
p"'= 7 r+ r-7 pVI_ r6 _ + r-6.
I~=- r