Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X=O0 zu gelangen. 313
610.
Um die andern Wurzeln zu erhalten, mufs man für )c der Reihe, 27T, 4 7c, QT 6,z 387.
nach co - co + -, co + - -,... bis Co + -- substituieren
und dabei folgendes beachten:
1
1) Bei jeder Substitution mufs das Glied n2, welches die Gröfse
TIX darstellt, sein Zeichen wechseln; denn die Reihe der Wurzeln p,
welche durch
2 osg 2cos 2os, 2cosg, 2 cos Ag3,....,
wo g die primitive Wurzel von n bedeutet, dargestellt wird, giebt
allgemein für TIX den Wert:
2 cos A -- 2 cos Ag +- 2 cos A.g2 - 2 cos Ay3 +-..
Derselbe wechselt aber sein Zeichen, wenn das erste Glied 2 cos A
durch das folgende 2 cos 2lg ersetzt wird.
2) Wenn man co um das Vielfache htL oder h-20 vermehrt, mufs
man zu gleicher Zeit co' um 2h/t, co" um 3hL, co'" um 4h n u. s. w.
vermehren, wie man aus den soeben angegebenen Gleichungen (A)
unmittelbar erkennt.
Führt man hiernach die Rechnung durch, indem man co um 180
vermehrt d. h. co den neuen Wert
co= - 310 2' 46" 66.
beilegt und die andern Winkel o', co",.. CGVIII in dem angegebenen
Verhältnis vergröfsert, so giebt die Formel, in welcher man überdies
1
das Vorzeichen des alleinstehenden Gliedes n2 zu ändern hat, als
14z
Resultat den Wert von 2 cos 4 * Ich bemerke aber, dafs in der
Reihe der durch die primitive Wurzel g- 13 bestimmten Wurzeln
14,r 18:
die Wurzel 2 cos 41 der Wurzel 2 cos 41 vorangeht. Daraus
folgt, dafs, wenn man nach einander co + -, co + 2tL, co + 3,...
für co substituiert, diese Substitutionen sämtliche Wurzeln der gegebenen Gleichung in derjenigen Reihenfolge liefern, welche der durch
die primitive Wurzel g =13 bestimmten gerade entgegengesetzt ist.
Diesem Werte von g zufolge würde man, wenn man von der Wurzel
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p -= 2 cos -1 ausgeht, die Reihe der Wurzeln j2, p', p",... in folgender Anordnung erhalten: