Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

308 Fünfter Hauptteil.
wendung bringen, welches darin besteht, dafs man mit Hülfe der
Gleichungen TTVI =- pTVII, TT'VII QTVIII die (röfsen P und Q,
welche Funktionen von R allein sind, ermittelt. Denn kennt man
T und TVII, so geben diese Gleichungen die Werte von TVI und
TVIII oder die Werte der Winkel covI und coVII.
Indessen bietet sich in diesem Falle ein einfacheres Hülfmittel
dar, um zu dem gesuchten Resultate zu gelangen; und dieses Hülfsmittel, von dem man auch bei ähnlichen Fällen Gebrauch machen
kann, bietet den Vorteil, dafs es eine neue Reihe von Säitzen
über die Funktionen T liefert.
606.
Wir nehmen die Gleichung TT' = 31MT" wieder auf und setzen
voraus, dafs man in dieser Gleichung für R der Reihe nach l12, /R,
R4,... bis R19 substituiere, wodurch sich 1M in M', M",.i"',... MXvII
verwandeln möge. Auf diese Weise bildet man. eine neue Reihe von
Gleichungen, welche ebenso viele Sätze über die Funktionen T darstellen, nämlich:
TT TtMT, X -- Mx TXII
T' T"' - ' T7, TX.T.X MXI Txv
T" v -T M" Tn7VIIIxn TXII _ = MXITI XVIII
1T"' T1v = M'"' TXI TXII 7ITvI -37xIII T'
TIV 1Ix - IV X1 V, TXIV TIX _ MXIV Tji
(15) TV TXI - MV TXVII 1TXV TXI -- ]MXV VII
TvI TXIII - Mi T JTXVI TXII -,IXVI TX
TVII TXV - MVT"I. TXVII TXV - 3fXVII TTXII
Tviij TXVII = IVIIi T\I TXVIII TxVII MXVIII -TxvI
'IX TXIX _ MIX TIX
Multipliciert man in der vorstehenden Reihe die beiden äiufsersten
Gleichungen, sowie je zwei gleichweit von den Enden abstehende
Gleichungen mit einander, so bieten die Produkte eine Eigenschaft der Funktionen M dar, die derjenigen der Funktionen
A analog ist, und die durch die folgenden Gleichungen ausgedrückt
wird:
- MMxv111 V IM'MXVII M"MXVI = M"'M = MIVMXIV
(16) = JIvMXII- =MVIMXII MvII MxI M i MVII Mx.
Jedoch erstreckt sich diese Reihe nicht bis zu der Gleichung MIX2== n,