Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

18 Vierter Hauptteil.
Die linke Seite reduciert sich wegen en 1 auf 1.; die rechte Seite
wegen ~'= 1 auf a; mithin hätte man:
Ist n = n' und n' = nv, wo v eine Primzahl ist, so hat man wegen
' —1 1. auch:
-^-= 1 o0d(er 41 V 1.
Diese Gleichung ist aber unmöglich, weil unser Satz voraussetzt, dafs
die Gröfse 1 " - 1 nicht durch a teilbar sein darf. Mithin enthält
lie Formel x = -m alle Lösungen der gegebenen Gleichung in sich.
Ist viertens v einer der Primteiler von n, so giebt es auch
n
nur — Werte von a, für welche ü4 -=1 ist, ebenso wie es nur n
der Gleichung x" - 1 == -W (a) genügende Werte von x giebt. Unter
den n Werten, welche 9 in der Gleichung n1 1 besitzen mufs,
n
giebt es daher in - -, für welche OV nicht gleich l ist. Macht man
denselben Schlufs hinsichtlich der anderen Primfaktoren, aus denen in
bestehen kann, so folgt, dafs es n (1 — ) (l - ) (l-,)..
Werte:) von 4 von der Beschaffenheit giebt, dafs keine der Gröfsen
n nz nz,4i -- 1a 0" - 1, 1i' - l,... ldurch a teilbar ist.
342.
Wenn demnach n eine Primzahl ist, so braucht man nur
einen von 1 verschiedenen Wert von x zu haben; wird dieser Wert, genannt, so enthält die Formel x -- 1 alle Werte von x.
Ist n eine Potenz einer Primzahl v, so darf, wenn der der
Gleichung x"- 1. genügende Wert x = die vollstindige Lösung dieser
n
Gleichung liefern soll, 4v nicht gleich + 1 sein. Alsdann ist x =- a^.
Ist endlich, wie man stets annehmen kann, n von der Form
"7I/V'iy".. so setze m1an::
v" C- t, v'- =I, v" y =lh,...
und löse jede der Gleichungen
*) Die Anzahl der Werte von 1 ist dieselbe, wie diejenige der Zahlen,
welche kleiner als n und prim zu n sind. (Einleitung, Artikel XV.)
Anm. d. Verf.