Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X=0 zu gelangen. 303
also dargestellt wird durch einen Ausdruck, der eine ähnliche Form
besitzt wie die Gröfsen Ti A, T', A',... Wenn man also direkt
1
M = n (cos 0 + /-l1 sin 0)
findet, so hat man co -+ o'- G "= (0-, und somit:
= o + '-w' -0 = 3o - - 0.
Vergleicht man sodann diesen Wert mit den vier bereits gefundenen,
so sieht man, welcher von diesen vier Werten genommen werden mufs.
Es reduciert sich somit alles darauf, den Wert von M mit Hülfe
der Gleichung TT'- 1MT" zu bestimmen. Wie man sieht, ist M
gleich dem Koefficienten von p in dem entwickelten und auf die
lineare Form gebrachten Produkt der Polynome:
T-p + p- R +- p,"2 + p"' 13 +.. + pXX1S19
T'= +- p'R2 + p"R + p" + '".. + pXIX R38.
Wir betrachten zuerst den Teil:
P2 + '2B3 + <"216 + p"'2119 +..+ pXIX2151
in welchem man die Werte der Quadrate p2 2 + pvI, p2 2 + pVII,
u. s. w. zu substituieren hat. Da das allen diesen Quadraten gemeinsame konstante Glied 2 dasselbe ist, wie 2p —2p'-*., so ist der
daraus entstehende Koefficient von p, welcher einen Teil von M bildet,
der folgende:
-- 2 (1 + -ER + l; + R9 +.. * + R57).
Multipliciert man diese Gröfse mit 1 - R3, welches nicht Null ist
(auch dann nicht, wenn man für R ein beliebiges Glied der Reihe
R2, /3, 14... '9 setzt), so erhält man als Produkt -2 (1 R60)
und dieses ist Null. Es kann daher dieser Teil in dem Werte von
M vollständig weggelassen werden.
Man braucht daher bei diesem ersten Teile des Produktes TT'
nur das eine Glied RpXIv2z42 = (2 +p)/r42 zu berücksichtigen, und
dieses giebt für M das Glied 1R42 oder R2.
Sind p," und pv zwei aufeinanderfolgende Glieder des Systemes (1),
so giebt es in dem Produkte TT' zwei Glieder
ppVS (PR2,t +v + R +2v)
welche wegen des in p2,pv enthaltenen Teiles p für M die beiden
Glieder R2it+v + RiLt+2V geben. Das Ergebnis aller dieser in ähnlicher
Weise mit Hülfe des Systemes (1) gebildeten Glieder ist folgendes: