Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

298 Fünfter Hauptteil.
Vereinigt man daher die Summe der Funktionen
T + T + Tr+..'. - TrvI
mit der Summe der inversen Funktionen
TXVIII+ TXI +- + x TXVI +.. + iX
so wird die Gesamtsumme gleich
1
2n2 (cos Go + cos o'+ cos o"+...+ cos,OVI~).
Addiert man sodann zu dieser Summe die Funktion TIX =+ d/n
und die Funktion -TIX, welche nichts anderes ist als
P + p+:P+.. + XI= - 1,
so erhält man die Gleichung:
1 1
(7) 20p= -- 1 + n -+ 2 2 (cos o +cos C'+cos o".+ cosCovII).
Aus dieser kann man alle Wurzeln der Gleichung in p und somit
alle Wurzeln der gegebenen Gleichung X 0 ableiten. Denn da
2inr
jede Wurzel p 2 cos - ist, so erhält man daraus zwei Wurzeln
2ir 2i7
der Gleichung X =0, nämlich: x cos - + - -l sin 2
Es reduciert sich demnach alles darauf, die Werte der Winkel
cG, G3, G'... co.VT zu finden. Dazu müssen wir aber zuerst die 0,
a, ',...,VIII, welche zur Bestimmung der Gröfsen A, A, ",... AIII
dienen, kennen.
600.
Um die Formel (4) auf jedes Glied An,) der Reihe A, A', A",... AT
anwendbar zu machen, müssen wir R'l+ml für R substituieren; dadurch erhalten wir allgemein:
A(m) - 2_ 3-3 3m 2 2R4-m _ 2R+5m + 217+7l- 7 + J8+8-i
_ 2Rs9+91 +- 2R11+lm - 2RS12+12m + 2B13+1;ll +- 2118+18ns.
Setzt man sodann:
R = cos t + 1+ - sin t
und
1
A() = n2 (cos s(m) f_ /-i sin e(m)),
so ergeben sich zur Bestimmung von e(m") die beiden Gleichungen: