Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X= 0 zu gelangen. 297
oder:
n2 =- nAAXVmII, also n =- AAXVII.
In dieser Gleichung kann die Funktion A durch 1 (R) bezeichnet
werden, alsdann wird AXVIII durch 0((Rl1) oder 4(-) zu bezeichnen
sein. Man hat daher: (12R) ( -q> = n. Setzt man in dieser Gleichung B2, R3,... an die Stelle von R, so ergiebt sich (RB2)(12) -n,
(R ) n, u. s. w., oder n - A'AXII, n= A"AxVI,. s. w.
Hieraus sieht man, dafs es für die Funktionen A eine Reihe von
Gleichungen giebt, die ähnlich ist der für die Funktionen T geltenden
Reihe (5), nämlich:
- AAxv II A 'AxvII- = A"AXI - A"'AX AIVAXIV
(6).....
(6 - AVAXII _ AVI AVIV- A AXI _ AVIIAX.
Jedoch läfst sich diese Reihe von neun Gleichungen nicht um eine
zehnte vermehren, wie dies bei der Reihe (5) stattfindet. Denn wir
haben gezeigt, dafs die Gleichung AIX2 = n unrichtig ist und durch
die Gleichung AIX - n ersetzt werden mufs.
599.
Aus den beiden Reihen (5) und (6) schliefsen wir, dafs n2 der
reelle Modul der imaginären Gröfsen T und A ist, so dafs wir
i 1
T n= n(cos o + /- 1 sin co), A = 2 (cos 4 + -/-1 sin e)
1 1
T'- n2 (cos '+ -- 1 sin oo'), A'- n2 (cos 1'+ /- 1 sin 4'),
und allgemein:
1
T(-I)= n2 (cos C(,1) + / —1 sin Co("))
A(m) -= -2 (cos O(-) + 1- 1 sin ~(m))
setzen können. Ferner sieht man, dafs die inversen Funktionen von
T(m) und A(r), nämlich T(-2-m) und A(k-2-^) einfach dadurch ausgedrückt werden können, dafs man das Vorzeichen von j/- 1 in den
Werten von T(-o) und A(m) ändert, also:
(~-2-, —) 2 (COS O((n) _ / — 1 sin (m))
A(k-2-'L) =J2 (cos 1(nm) - /-1 sin (n(m)).