Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Satze über die Auflösung der Gleichung Xn - b ay in ganzen Zahlen. 17
von a - ist. Es ist aber leicht zu sehen, dafs, wenn einer der
Werte von x bekannt ist, man sie alle erhält, indem man den bekannten Wert mit den verschiedenen Wurzeln der Gleichung xn - 1
= 9 (a) multipliciert. Es ist daher vor allem nötig, dafs wir uns
mit der Auflösung dieser letzteren Gleichung beschäftigen.
341.
Satz 2. Es sei die Gleichung x" - 1 = — (a) gegeben,
in welcher a eine Primzahl und n ein Teiler von a- 1, also
a- 1 ==a'n ist. Alsdann ist:
1) x= ta, wo u irgend eine durch a nicht teilbare Zahl ist.
2) Ist a ein Wert von x, so ist auch fm ein solcher,
welches auch der Exponent m sein möge. n
3) Ist die Zahl 4 von der Beschaffenheit, dafs v - 1,
wo v einen Primteiler von n bedeutet, nicht teilbar ist durch
a, so enthält die Formel x== m alle Lösungen der gegebenen
Gleichung, und zwar sind dieselben 1,, e2,..., a~-1 oder
die Reste, welche bei der Division dieser Gröfsen durch a
übrig bleiben.
4) Es giebt nicht nur mehrere Zahlen 49, welche diese
Eigenschaft besitzen, sondern ihre Anzahl ist gleich
n 1t- (1 — 1 (l -.... wo v, v, v',... die verschiedenen Primzahlen sind, welche in n aufgehen.
Setzt man nämlich erstens x = ua', so hat man:
Xn - 1 = ua n - 1 = a- - 1,
also eine Gröfse, die stets durch a teilbar ist.
Ist zweitens x = -, so erhält man mit Weglassung der Vielfachen von a: n = — 1. Setzt man also x = =, so erhält man ebenfalls:
Xn =_ mn= 1
welches auch m sein möge.
Da drittens die gegebene Gleichung n Lösungen haben mufs,
so liefert die Formel x =- 4 alle, wenn es in der Reihe 1, '2, 2,
43,... n-1 keine zwei gleichen Glieder giebt (wobei immer die Vielfachen von a weggelassen werden). Setzt man aber ll = nl, so folgt
daraus '10 = 1, wo 6 gleich g - Z oder gleich A - y und somit kleiner
als n ist. Da nun bereits 4n = 1 ist, so erhält man, wenni man
mit E den gemeinschaftlichen Teiler von 6 und n bezeichnet und die
Gleichung ny - (z == e auflöist,
L ege dre, Zahlentheorie II. 2