Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

296 Fünfter Hauptteil.
Mithin mufs allgemein sein:
A(Im-1) - n,
eine Gleichung, die wir soeben in dem Falle n 41 bewiesen haben
und die in gleicher Weise bei dem Falle n -- 13 sich ergeben hatte.
Nachdem so der Fall von AIX erledigt ist, können wir die
Gleichung (2) vereinfachen, indem wir die Gleichung
O = 1 + i2 + R4 + R6 +... + R18
in Anwendung bringen. Dieselbe gilt für jeden Wert aus der Reihe
jR, ln, R3,... 19, das einzige Glied 1'0o ausgenommen, welches sich
auf - 1 reduciert und das in dem Falle von AIX, mit dem wir uns
nicht mehr zu beschäftigen haben, einzusetzen ist.
Mit dieser einzigen Ausnahme läfst sich die Formel (2) auf die
Form bringen:
A - 2= - 23 - 2 - 2W5 + 27 + 8- 29 + 2R11 - 2R12
+ 2 R13 + 2R18,
und aus dieser leiten wir sogleich die besonderen Werte A, A', A",
A"', AIv AV, AVI AII und AIII her.
598.
Die Eigenschaften der Funktionen T und A sind zum gröfsten
Teile in den Gleichungen (3) enthalten; indessen giebt es noch für
jede dieser Funktionen zwei andere Reihen von Gleichungen.
Die erste besteht in der Entwicklung der allgemeinen Gleichung
T(a) T(k-2-a) f n
welche in unserm Falle die folgenden zehn Gleichungen umfafst:
- TrxvIII = T' TI - T" ' xvI T ' TXV - TIV TXIV
(5)
( ) - TV TXIII TVI TII TVII TXI TVIII TX TIX2
Es würde genügen, wenn wir nur eine von diesen Gleichungen bewiesen, da man aus dieser leicht alle andern ableiten kann; indessen
würde dieser Beweis dem bei mehreren andern Beispielen gegebenen
vollständig analog sein, so dafs wir uns damit nicht aufzuhalten
brauchen.
Multipliciert man jetzt die beiden, aus dem System (3) entnommenen Gleichungen
T2 = A T' T XVIII2 AX XVII
mit einander, so erhält man:
( TrXVIII)2 = ( TxVII) (A AxII)