Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X= 0 zu gelangen. 293
Mit Hülfe dieser Werte findet man unmittelbar den Koefficienten
von p in jedem der Glieder des Polynoms
a + a' 2 + a"t4 +... + aIXp15.
Die Summe derselben ist:
- 2 - 2R2 - 4R4 - 21R6 - S - 21~10 - 4R12 - 2R14 - 2R16.
Nimmt man ebenso den Koefficienten von p in jedem der Glieder
des Polynoms
bR + b'l3 + +. *. + bIXb1,
so ist die Summe dieser Koefficienten:
2R + 4R7 +- 4R11 + 413" + 21R5 + 2jR17 + 2R19.
Vereinigt man diese beiden Summen, so erhilt man den vollständigen
Wert von A, nämlich:
(2) 2 -2Rl - 44 _2R6 2 _S R8 -2El 4R1- 2R14 2
(2 ) + 2R + 4R7 + 4Rll+ 4jR13+ 2R15+2R17+ 219.
596.
Diesen Wert hätte man einfacher auf dem in Artikel 589
angegebenen Wege finden können. Diese zweite Rechnung, welche
zur Bestätigung der ersten dienen möge, ist folgende:
Betrachten wir zunächst in T' den Teil, welcher die mit den
Quadraten der Wurzeln p, p', p",... multiplicierten Glieder umfafst,
so ist dieser Teil:
p2 + p2 + p2 + p'"2 6 + + pXIX2 38.
Setzt man hierin die Werte 2 = 2 + ppV, p2 = 2 + pI... ein,
so giebt das konstante Glied 2, für welches
- 2p - 2p' - 2p" -... - 2pxIx
zu setzen ist, in dem Werte von A einen Koefficienten von p, welcher
gleich der Reihe ist:
- 2(1+ R-2 + - + +._.. + R388).
Dieser Wert reduciert sich auf Null nicht allein für A, sondern auch
für alle daraus abgeleiteten Gröfsen A', A", A"', m. AT it
alleiniger Ausnahme von A:X, welches aus A entsteht, indem man
jlO1 an die Stelle von 1R setzt. In diesem Falle wird die vorstehende
Reihe, anstatt sich auf Null zu reducieren, gleich - 40 d. h. allgemein gleich - n + 1.
Um daher ein vollkommen allgemeines Resultat zu erhalten,
müssen wir die vorstehende Reihe beibehalten. Wir können darin
nur R10' = 1 setzen, wodurch sich dieselbe auf