Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

292 Fünfter Hauptteil.
595.
Es sei R eine imaginäre Wurzel der Gleichung R20 1 = 0,
welche derartig gewählt sein soll, dafs sie mittelst ihrer aufeinanderfolgenden Potenzen sämitliche Wurzeln der Gleichung R20 - - =0
liefert. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn man in dem Werte
R = cos u -- / 1/ sin if
2iz
= -20- setzt; sie ist ebenfalls erfüllt, wenn man 2 — annimmt,
wobei i eine der acht Zahlen 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, welche
kleiner als 20 und prim zu 20 sind, bedeutet.
Dieses vorausgeschickt, setzen wir wie gewöhnlich:
T = p + p'R + 1.. + XIX " 19 +... + pXIX,
und bezeichnen mit T', T", T",.. TvIII die analogen Polynome,
welche dadurch gebildet werden, dafs man in T der Reihe nach fR2,
fR3, 4,... R1 an die Stelle von R setzt. Es handelt sich hiernach
darum, die Gröfse A, welche eine Funktion von R allein ist, zu
finden, die der Gleichung T2 = AT' genügt.
Zu diesem Zwecke kann man T2 auf die Form bringen, welche
sich aus dem entwickelten Werte von T ergiebt, nämlich:
T2 _ + a R2 + ^4 + " - a... + IX- aR18
+ bl+ b'R3 + bF') + b"'JR7 +. + b1X/1K.
Alsdann ist:
a ='2 + pX2 + 2p2'XIX + 2p"pXvII + -2p'pXVI +. + 2pIXp
= 2p' + 2p"pXIX + 2p" XVIII + 27IVXVII +. + 2p9XI.
Diese Werte dienen zugleich dazu, um den Ausdruck der andern
Koefficienten a', a,..., b', b",... zu finden, indem man bei dem
Übergange von a zu a', von ' zu a", u. s. w. die Buchstaben p umn
eine Stelle vorrücken läfst. Jedoch braucht man diese Operation nur
an den auf die lineare Form redueierten Werten von a und b vorzunehmen. Diese Werte sind mit Berücksichtigung der Werte, welche
die verschiedenen Produkte von je zwei Buchstaben p unter Voraussetzung der primitiven Wurzel g = 13 besitzen (Artikel 537), die
folgenden:
a =- - - 42IV - 2pV - pVI _ 2pVI - 4pVIII - 2pIX
2_ 9X 2pXII 2p XIII 42)XIV _ 21XV pXV __ 21XVII 4pXVIII
- 2XIX
b = 2p + 2p + 2p" + 2p' + 4pIV + 4PV + 4VII + 2pX + 2'XI
+- 2pI" + 2pXTI + 42pXIV + 4pxV + 4pxvII.