Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

16 Vierter Hauptteil.
also:
xS =1 7
oder:
x - bt = - (a).
Daraus erkennt man, dafs die gegebene Gleichung nur o Lösungen
besitzen kann (No. 132), und damit sie diese Lösungen anuch wirklich besitze, müssen die beiden Gleichungen:
X?1w == bt xa' = 1
mit einander in Übereinstimmung stehen. Nun geben aber diese
letzteren:
xvn'C' Cr ') x ' ' 1ü ' - - 1,
mithin mufs ba'= 1= oder
b' -1 I= (a)
sein. Diese Bedingung ist die einzig notwendige; jedesmal wenn sie
erfüllt ist, besitzt die gegebene Gleichung co Lösungen, welche in der
Gleichung x- b7t = JW(a) enthalten sind. Man iberzeugt sich aber,
das diese Gleichung wirklich c) Lösungen besitzt, wenn man beachtet, dafs x", - b einen Faktor von x"'" -- 1b"' was auf x"-~ —. 1
+- c R hinauskommt, darstellt.
Man bemerke, dafs man, wenn in der gegebenen Gleichung n,
gröfser ist als a -, von diesem Exponenten die Vielfachen von
a- 1 abziehen und nur den positiven Rest beibehalten kann. In
der That läfst xa-l bei der Division durch a den Rest 1, mithin läfst
x("-)1)1'+n bei der Division durcl a denselben R,est, wie x,2.
340.
Aus dem vorigen Satze folgt, dafs, wen n n und a - 1 prim
zu einander sind, die Gleichung xn -- b -= )(a) iilmer eine
Lösung hat, welches auch b sein möge. Ist alsdann i die
kleinste positive Zahl, welche der Gleichung zn -( (pa — ) 1 genügt, so ist diese Lösung x =- b.
Allgemein gewährt.dieser Satz den Vorteil, dafs er, im
Falle die gegebene Gleichung auflösbar ist, zu gleicher Zeit angiebt, wieviel Lösungen sie besitzt, und welches die einfachste Gleichung ist, welche alle diese Lösungen liefert.
In der reducierten Gleichung ist der Exponent von x immer ein
Teiler von a — 1; mithin hat man nur noch die Lösungen der Gleichung
n - b- =)? (a) unter der Voraussetzung zu finden, dafs n ein Teiler
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