Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

284 Fünfter Hauptteil.
Der zweite Teil der Entwicklung von T2, welcher zu berücksichtigen ist, ist derjenige, welchen die Glieder
2pp' r +- 2p'pIV 5 + 2p IVp" J6 + 2p"p"'R5 + 2p"'pVRs
liefern. Derselbe giebt in dem Ausdrucke von A einen dritten Teil:
2R + 2R5 + 2R6 + 2R5 + 2R8,
welcher, mit den beiden andern vereinigt, den vollständigen Wert
von A liefert, nämlich:
(1) A = - 2 + 2R - 22- 3R4 + 4R5,
und dieser stimmt mit dem bereits gefundenen Werte überein.
590.
Die Gleichung T' - AT', in welcher man der Reihe nach R2,
R3, h4, R5 an die Stelle von R setzen kann, ergiebt die folgende
Reihe von Gleichungen:
2 = T', '2 -= A', T"2 A " T= A
T() T'f2= A"' T' IV2 AIV 1
Hierbei ist zu bemerken, dass in der dritten Gleichung T"2 =-A"
für Tv sein Wert - 1 gesetzt worden ist, weil Tv dasjenige bedeutet, was aus dem Polynom T wird, wenn man R6 oder 1 an die
Stelle von X setzt, und demnach v=p+-p'+ '+ +IV - 1,
also T2 - A" ist. Da andrerseits A" der Wert von A ist, wenn
man darin R3 an die Stelle von R setzt, so bemerken wir, dafs der
aus der Gleichung R6 -1=0 erhaltene Wert von R derart gewählt
ist, dafs er nicht der Gleichung 3- 1 =0 genügt; denn sonst würden die aufeinanderfolgenden Potenzen von R nicht sämtliche Wurzeln
der Gleichung 1E -- 0 ergeben. Es mufs demnach dieser Wert
der Gleichung R3 + 1 0 genügen. Substituiert man aber in der
Gleichung (1) für R den Wert R= - 1, so reduciert sich die rechte
Seite auf - 13 = - n. Folglich hat man:
AÄ'=- n,
und daher:
T"2 = n oder T" + 1/n.
Dieses Resultat stimmt mit dem des Artikel 588 überein; denn
da T" nichts andres ist als das Polynom T, wenn man darin R3
oder - 1 für R setzt, so wird:
T =p - p' + p" - p' + pIV- pV,
und diese Gröfse ist nach dem angeführten Artikel gleich + ]/n.