Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X=O zu gelangen. 283
Ist A der Koefficient von p in diesem Ausdruck, so sieht man
leicht, dafs AR2 der Koefficient von p', AR4 der von p u. s. w. ist.
Setzt man also:
A - 2 + 2 - 2R2 -- 3R4 + 4R5,
so wird:
T2 = A T'
eine Gleichung, die, wie man hieraus sieht, für jeden, geraden oder
ungeraden, Wert von k besteht.
589.
Der Wert von A kann noch auf eine einfachere Weise
gefunden werden, wenn man beachtet, dafs A gleich dem Koefficienten von p in dem entwickelten und auf die lineare Form gebrachten Werte von T2 sein mufs. Jedoch ist es gut, zunächst die
Wurzeln p, welche sämtlich von der Form r"- +- r- sind, nach der
natürlichen Reihenfolge der Exponenten so wie folgt zu ordnen:
p = r + r-~, =- r2 + — 2, I= r3 r-3
p" r4 + r-, p"' 5 + r-5, p = r-6.
Hieraus ergiebt sich, dafs die einzigen Produkte je zweier der Buchstaben p, aus denen p entsteht, die folgenden sind: pp', ppv, piVp,
"lr~rlr Wut IV
Sp,P p.
Nachdem dieses festgestellt ist, giebt die Entwicklung von T2
einen ersten Teil:
P2 + P 2 R + p" '2R + p"'2 6 +pIV2 s + pV21 R,
in welchen nman die Werte p2 2 -{-p2, P2 " - = ]2 p _,2 + p,
u. s. w. einzusetzen hat. Da nun das in allen diesen Werten enthaltene konstante Glied 2 gleich - 2p —2p' —2p"-2p"'- 2pV-2pv
ist, so ist der Teil von A, welcher aus diesemr konstanten Gliede
entspringt:
-2(1 + - R + R - + - 6 + R8 +- R10).
Derselbe könnte bei der Bestimmung von A und A' weggelassen
werden, dagegen nicht, wenn es sich um die Bestimmung von A"
handelt, weil alsdann R31 an die Stelle von R zu setzen ist und somit die Gleichung 0 =1 + R2 + I + R6 + R8 + R10 ihre Gültigkeit verliert.
Man bemerkt ferner, dafs das Glied pV21R0, in welchem pv2== 2 -+p
ist, einen Koefficienten R~1 oder WR liefert, der ebenfalls zu A hinzugezogen werden mufs.