Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

282 Fünfter Hauptteil.
setze, die Koefficienten b, b', b" aber einem andern Gesetze. Man
hat nämlich:
a =p12 +p",2 + 2ppv + 2p"pIVt b = 2pp' + 2Vp" + 2-IV2pp"
a ==p'2 12 I 2 + 2pp + 2p 'pv, b = 2 p'1 + + 2pp" 2pVpI
a" =p"2 +_V 2 + 2"'p' + 2pVp, b = 2ip 1"+ 2p'pIV + 2pv.
Diese Koefficienten müssen auf eine lineare Form gebracht werden;
jedoch genügt es, die beiden ersten a und b zu berechnen, da man
leicht erkennt, dafs die andern aus diesen hervorgehen, wenn man
die Buchstaben p, p',... 2v nach und nach um eine Stelle vorrücken
läfst. Man erhält auf diese Weise:
a = 2 -p' -- )IV b = 2p +4 4' 4 - 2p"' + 4pIv
a'- 2 - p" -pV, ' =b 2 +p' 4p"' + 2piV+ - 4p
a"-= 2 -p"-p, b"- =2p" 4p+2 + 4p,
und der Wert von T2 wird:
T2 = 2 (1 + IU2 + -4) + R (2_p + 4p' + 21p"' + 4~IV)
' -" 1-'2 - 'p" 4 + R '(2p' + 4p" + 2p4IV - 4pV)
_ pIV _-V 2 _ p R' + R+ (2p," + 4p"'- + pv - 4p).
Sodann mufs man diese Gröfse nach p, p',.. pv ordnen, nachdem
man noch zuvor den konstanten Teil 2 4- 2R2 + 2_14*) auf die
Form gebracht hat:
- (2 + 2R2 + 2 4)(p +p' +p"+ p" + pI).
Dadurch ergiebt sich:
T2 = p (- 2 + 2R -2R2 - 3R4 + 4R5)
+; ( 3 + 4R- - 2JR2 + 2 324)
+ " (- 2 -32 + 43 - 2iR4 + 2R?5)
4. p' (- 2 +2 2R 2 - 3R4 + 4R-5)
+ pIV( —_ 3 + 4 - 2 R2 + 2R3 - 224)
+- p (- 2 - 3 R2 + 4R3 - 2R4- 25).
*) Wenn es sich nur darum handelte, den Wert des Koefficienten A oder
auch den von A' zu erhalten, so könnte man diesen Teil ganz weglassen, da der
für 1R genommene imaginäre Wert der Gleichung 0 = i + R2 - R4 und auch
der Gleichung 0 = + 4 + R,R, welche aus der vorigen durch Substitution von
R2 an Stelle von R entsteht, Genüge leistet. Da jedoch die allgemeine Formel,
durch welche man A ausdrücken will, auch dazu dienen soll, A" auszudrücken,
indem man einfach jR3 für R setzt, so mufs man den in Rede stehenden Teil in
dem Ausdrucke von A beibehalten, da die Gröfse 1 + R2 + R4 durch jene Substitution in 1 +- R + R12 übergeht und somit, anstatt gleich Null zu sein, den
Wert 3 annimmt. Anm. d. Verf.