Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X==O zu gelangen. 281
Sind p, p', p", p'", pIV, pV die Wurzeln dieser Gleichung und nimmt
man als primitive Wurzel von 13 die Zahl g = 2, so stellen diese
Wurzeln die Perioden von zwei Gliedern (2:1), (2:2), (2:4), (2:5),
(2:3), (2:6) dar, und, wenn man durch r eine beliebige imaginäre
Wurzel der Gleichung x13 - =- 0 bezeichnet, so erhält man:
p =- r + r-' P"' r+ 5- rp' = r2 r-2, IV = r3+ - r3
p"= r4 + r-4 pV = r + r-6.
Hieraus ergeben sich die Quadrate sowie die Produkte von je zweien
der Wurzeln in linearer Form, wie folgt:
p; =2+p, PP =p +pIV, 1p'" =- +pIV, pp"' 2p +pV
2 -2+p — p" =, 'p" ) Vp, pp' )IV+p p'pIV_ p"' +p
p2 +- 2 p P + - P, p,2p IV V +p p, p pIV+P
p2 =2+pIv, p 'pIV _p,+p p,'pV _p +p,
pIV2 =2+_pV, pIVpV pIV+_p", IVp =_1) +p
pV2 -2+p, pVp p pV p+p p P +"',
588.
Es sei R eine imaginäre Wurzel der Gleichung R - 1 = 0,
und zwar nehmen wir i =- cos E + s/- 1 sin i, wobei wir
2n 4n
-=6 60~ setzen. (Wir hätten ebenso gut - =- setzen
6
können.) Sodann setzen wir:
T = p + p'R + pl"2 +p - "'R3 + pIV 1 + V p 5V/
und bezeichnen wie gewöhnlich mit T, "', TIV das,was aus dem
Polynome T wird, wenn man darin resp. R2, R3, 1R4, R5 an die
Stelle von R setzt.
Ist k eine gerade Zahl, wie in unserm Beispiele und in allen
denen, wo n die Form 4m + 1 besitzt, so kann man nicht mehr
annehmen, dafs der Wert von T2 allein aus geraden Potenzen von
R zusammengesetzt sei, wie wir dies in allen Fällen, wo die Zahl k
ungerade ist, gethan haben. Man mufs vielmehr in diesem Falle setzen:
T2-c + a' R2 + a"R4
+bR+ b'R + b"lR5,
und man würde diese Reihen noch weiter, nämlich bis zur Potenz
Rk-~, fortsetzen müssen, wenn k gröfser als 6 wäre. In dieser
Formel unterliegen die Koefficienten a, a', a" einem gewissen Ge