Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

280 Fünfter Hauptteil.
2,r
welche den genauen Wert der Wurzel cos 31 giebt, wenn man
8a + 4a' + 2e9"' + 9VII + 2zf
15
setzt, liefert auch je nach Belieben den Wert jeder andern durch
cos 2- dargestellten Wurzel. Man braucht dazu nur in der Formel
co + mtn an die Stelle von co zu setzen, wobei m die Stellenzahl
von 2i in der Reihe
20, 14, 16; 26, 12, 4; 22, 28, 30; 10, 24, 8; 18, 6, 2
bezeichnet.
30 v
So mufs man z. B., um direkt den Wert von cos 31 oder von
-- cos -1 z. erhalten, in die Formel wo + 9gt oder co + 2160 an Stelle
von o einsetzen.
Wir sind daher zu einer allgemeinen Formel gelangt, welche je
nach Belieben alle Wurzeln der Gleichung in p oder alle Werte
von cos 31 liefert, wobei i jede zwischen 1 und 15 liegende Zahl
bedeutet.
Bei diesem Beispiel lassen sich sämtliche Winkel a geometrisch
konstruieren, da die Winkel gu, von denen sie abhängen, nur die
Teilung des Kreisumfanges in 15 gleiche Teile voraussetzen. Mithin
läfst sich die Teilung des Kreisumfanges in 31 gleiche Teile ausführen mittelst der Teilung eines geometrisch bestimmbaren Bogens
15co in 15 gleiche Teile.
Diese Teilung in 15 gleiche Teile wird bewirkt mittelst der
Teilung desselben Bogens in 5 und in 3 gleiche Teile. Wenn wir
nach dem gewöhnlichen Verfahren die Gleichung in p zunächst mit
Hülfe einer Gleichung 5ten Grades, sodann miti Hülfe einer Gleichung
dritten Grades aufgelost hätten, so würde die erstere Gleichung die
Teilung eines Bogens in 5 gleiche Teile, die zweite die Teilung eines
andern Bogens in 3 gleiche Teile erfordert haben; es würde also
aus diesem Grunde wie aus mehreren andern Gründen die Lösung
weniger einfach gewesen sein, wie die, welche wir soeben auseinandergesetzt haben.
587.
Zweites Beispiel. n = 13, 7 = 6.
In dieseni Falle lautet die aufzulösende Gleichung:
0 -= p + +p - 5)4 - 4 3 + 6p + 3p - 1.