Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X==0 zu gelangen. 279
wie dieselbe durch die primitive Wurzel g 3 bestimmt wird, oder
in der umgekehrten Reihenfolge:
12 z7 207 14z 167
2cos — 2 cos-3, 2 cos - 2 cos u.s.w.
31 ' 31 ~ 31 ~ 31
Welche von diesen beiden Reihenfolgen stattfindet, läfst sich leicht
bestimmen, wenn man die Formel mit dem um 240 vermehrten Werte
von G) d. h. mit dem Werte
Co =- 230 52' 21", 82...
berechnet. Eine Vergröfserung des Wertes von cu um L bringt bei
dem Werte von o' eine solche um 2/t, bei dem Werte von co" eine
solche von 3,u u. s. w. hervor. Man erhält daher die folgenden Werte:
=c 230 52' 21", 82
o =1290 3' 7" 37
o = 360 50' 56", 615
'" =2230 11' 8", 68
IV - 1420 58' 57", 93
cov - 1640 9' 43", 48
TV-II= 720 2' 27, 27.
Beschränkt man sich auf sieben Decimalstellen, so ergiebt die
Berechnung der Formel - = - 0,44039437. Dieser Cosinus entspricht so genau als möglich dem Winkel 31 = 116 7' 44", 52.
Vermehrt man also den Wert von co nach und nach um t oder
24~, und berechnet man die entsprechenden Werte von co, co"...CII,
so erhält man sämtliche Wurzeln der gegebenen Gleichung in der
Reihenfolge p, pX, pX1,... p', welche der durch die primitive
Wurzel g =3 bestimmten gerade entgegengesetzt ist. Diese Wurzeln
würden in der eigentlichen Reihenfolge aufeinander folgen, wenn man
den Wert von co, anstatt denselben beständig um u zu vermehren,
um dieselbe Gröfse vermindert hätte, indem man der Reihe nach an
Stelle von co die Werte co - /, oG - 2/t, co - 3,... setzte.
586.
Wie dem auch sein möge, die allgemeine Formel
2p =- + — - 0 [cos co + cos(2 o + a' ) + cos(3 c + a")
+ cos(4o + x.") + cos (5o +.Iv)
+ cos (6co + av) + cos (8 o + aVII)]1