Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. St,tze über die A.flösung der Gleichung xn- b:= ay in ganzen Zahlen. 15
~ 2.
Sätze, die Auflösung der Gleichung xn - b = ay in ganzen Zahlan
betreffend.
338.
Wenn die gegebene Gleichung durch x-= - befriedigt wird, so
wird sie allgemeiner befriedigt, wenn man x == + a- setzt, wo z
eine unbestimmte Zahl bedeutet. Nun giebt es in der Reihe, deren
allgemeines Glied -J- az ist, immer ein Glied, welches zwischen
- - a und + 2 liegt; man kaiin daher dieses Glied als eine
2 ~
Liösung oder Wurzel der gegebenen Gleichung betrachten. Die
Aufgabe besteht darin, alle derartige Lösungen oder Wurzeln zu finden,
welche die gegebene Gleichung haben kann. Im. Folgenden geben
wir verschiedene Sätze, welche diesem Zwecke dienen, für den Fall,
daf.s a eine Primzahl ist; sodann betrachten wir den Fall, wo a eine
zusalmmengesetzte Zahl ist.
339.
Satz 1. Die Gleichung x' - b = 9M(a),*) in welcher af eine
Prinmzahl und b eine durch a nicht teilbare Zahl bedeutet,
a -1
ist nur mSöglich, sobald b 1 - 1 = 9)(a) ist, wobei co den
gemeinschaftlichen Teiler von n und a - 1 darstellt. Ist;
diese Bedingung erfüllt, so besitzt die gegebene Gleichlnog
o ö Lösungen, welche in der Geichuing x' -- b-= (a) enthalten sind, wobei tc die kleinste der Gleichung n - (p (a- 1)
c- G genügende positive ganze Zahl ist.
Wenn die gegebene Gleichung aufliösbar ist, so erhält man, mit
Weglassung der Vielfachen von a, x — b; zugleich ist nach dem
Fermiat'schen Satze (No. 129) xt-l 1. Da die beiden Zahlen n
und a -- 1 den gemeinschaftlichen Teiler cG haben, so kann man
leicht, wenn man n = Inc a - 1 = a'co setzt, zwei andere positive
Zahlen zt und p1 von lder Beschaffenheit fiinden, dafs
zrn- 9a'c -1
ist. Nun folgt aus den Gleichungen x2?'=-) b, x="'' = 1:
bi t X.~''o, X f'P C + t) X (O
*) Der abgekürzte Ausdruck t (a) bezeichnet ein Vielfaches von a.
Anm. d. Verf.