Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X=O0 zu gelangen. 275
Kennt man co", so giebt die Gleichung T"2 = A" T den Wert
von Tv mit Hülfe des Winkels:
v -- 2co" - - 6o - 2 - 20 - ".
Es wird daher die Summe der beiden Glieder T" + -TV zusammen
mit der Summe ihrer Komplemente TXI - TVII1 gleich:
1
2n2 [cos (3 co-a-( ) + cos (6c - 2-" - 20)].
582.
Um die Summe sämtlicher Gröfsen T, T', T"... XIII zu bilden,
hat man nur noch den Wert von T1I und den seines Komplementes
TIx zu suchen. Nun ist aber TI2 = AIV TIX und somit
TIV3 AIV TIV TIX A iv.
Setzt man also wie gewöhnlich:
1
wi __ + i/TIV n =2(COS OIV + _ 1 sin oIV),
so hat man:
3 oIV - IV 0 oder = 2f oder = 4r,
wodurch sich für coIV einer der Werte ergiebt:
4IV aIV + 2 4XIv + 4 7
3 3, 3
Um zu erfahren, welcher von diesen drei Werten zugleich mit
dem von co anzuwenden ist, mufs man zu demselben Hülfsisittel
seine Zuflucht nehmen, welches zur Bestimmung des Wertes von o"a
führte.
Ist zu dem Zwecke TT"' =M'TIV, so beweist man leicht, dafs
M' eine Funktion von R und unabhängig von den Wurzeln p ist.
Mithin ist M' der Koeffieient von p in dem Werte des Produktes
T~T, wenn man dasselbe so entwickelt, dafs die verschiedenen
Glieder die Wurzeln p, p', p",... nur linear enthalten. Auf demselben Wege, welcher uns zum Werte von 1M in der Gleichung
TT' == MT" führte, findet man dann:
M' = 2R2 - 2/E6 + 2R8 + 2R9 - 5R10.
Wird diese Gröfse wie gewöhnlich durch
1
n2(cos 0' + j=i sin 0') = M'
dargestellt, so ergeben sich zur Bestimmung des Winkels 0' di'
beiden Gleichungen:
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