Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung XO0 zu gelangen. 273
p2, '2,. behaftet sind, kein lineares Glied, welches mit p multipliciert wäre. Nur das eine Glied pVI 2 ls, welches sich auf
(2 + p)R s1 reduciert, giebt in dem Werte von M einen ersten Teil
R18 oder R3.
Werden jetzt die Wurzeln p, welche allgemein durch r - r-~
ausgedrückt sind, nach der natürlichen Reihenfolge der Exponenten
a geordnet, so erhält man:
p = r -+ r,- 1 pX 6 + --, pVIII r"1 + — rpIX r2 + r-2, pXIIIm 7 r-7, pIV = r12 + r-12
p' __ r3 + r-3 pXII = rs + r-8, pXI = 13 + r-13
-"' r4 4 + r- r9 + -9,,VII = 14 + 4r-14
_p1 r=.+ r- r
pV _ r5 + r~-5 pXIV _ r10+ -1- 0 p VI r15 + r-15.
Bei dieser Anordnung erkennt man unmittelbar, dafs das mit p
multiplicierte lineare Glied in dem Produkte TT~' nur aus dem Produkt von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern der vorstehendenReihe,
nämlich aus den Gliedern:
IX IX...~~ ~ VII VI
_pp, p, p PP *...* P
entstehen kann. Und da jedes dieser Produkte zu zwei Gliedern
p(m)tp(n)R2n+2n, p(n)p(n)R2m+ n des Produkts TT' gehört, so ergeben
sich hieraus zwei Glieder R2,+2n + R2m+n in dem Werte von M.
Addiert man also alle so gebildeten Gröfsen, und reduciert man,
wenn es angeht, die Exponenten mit Hülfe der Gleichung R15 = 1,
so erhält man, wenn man zu dieser Summe noch den bereits gefundenen Teil R3 hinzufügt, die gesuchte Gröfse:
M= 2 + 2 + 2R + 4R3 + 3?4+4R5 + 2R6 + 2R7
+ R8 +-9+2-20 R+4'R41+R13+ l14.
Nun bestehen aber zwischen den Potenzen von R allgemeine Relationen. Zunächst hat man:die Gleichung:
O = 1 +ijR + R2 + R3 +... + 14.
Da ferner der Wert von R derart gewählt ist, dafs weder 1 — R3-O,
noch 1 - ' == 0 ist, so kann man aus der Gleichung 1 -- R5 = 0
die beiden folgenden herleiten:
0 = 1 +- 3 + RK + 9 + R12
0 = + R- + o.10
Mittelst dieser Gleichungen läfst sich der Wert von M folgendermafsen ausdrücken:
M = - 2R + 3R3 + 2_R4 + 2R5 - 2E6 + 2R7.
Legendre, Zahlentheorie II. 18