Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X==0 zu gelangen. 271
und aus diesen beiden Funktionen folgen ihre Komplemente oder die
zu ihnen inversen Funktionen, nämlich:
1
TxI = 2(os G" o"- io - sin 3")
XvIII= - n(cos (2 c" - a") - /- 1 sin (2 w" - ")).
Es würde somit die Summe dieser vier Funktionen sein gleich
1
2 2 (cos o " + cos (2 " - )).
Hier bietet sich jedoch eine Schwierigkeit dar.
Wenn wir T" aus T"5 ableiten, so könnte der in dem Ausdruck von f"5 enthaltene Winkel 2" + %-v, anstatt einfach durch
2e" + üv bezeichnet zu werden, auch durch 2e" + V - + 2in dargestellt werden, wobei i eine beliebige positive oder negative ganze
Zahl ist. Mithin könnte der Wert von co", den wir daraus abgeleitet haben, allgemeiner durch
II 2 " + &av 2iz
5 5 —
ausgedrückt werden. Es giebt daher in Wirklichkeit fünf verschiedene Werte von T", welche sich aus den fünf Werten von o",
nämlich aus
2,26'"+ üV 2Üa +,v 2 r " 2ü" +, 47r
co5 - o - + 5 -5- 5 + 5, 29, +, 4v 6rz, 2," +, V 8r
- 5.+-, 6 -- + 5
ergeben. Um zu erfahren, welcher von diesen fünf Werten zu nehmen
ist, müssen wir ein Mittel suchen, um T7" direkt und ohne Mehrdeutigkeit aus T herzuleiten.
580.
TT'
Setzt man zu diesem Zweck T- - M, so behaupte ich, dafs
M eine Funktion von R allein und unabhängig von den Wurzeln p
ist. Läfst man nämlich die Gröfsen p um eine Stelle vorrücken, so!f ffT T' T"
gehen die Polynome T, T", T über in R, / 2 R3, es bleibt soTT'
mit T"' ungeiändert. Man hat daher nur mittelst der Gleichung
TT' == MIT" die Funktion M zu bestimmen. Aus dieser Gleichung