Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

14 Vierter Hauptteil.
und x - 1 kann es also keine Trigonalzahl geben, die gleich einem
Kubus wäre.
Die Gleichung -u x (x + 1) =- y liifst sich auf die Form
8y3 + 1 = -2 bringen; mithin ist diese Gleichunun nmainglich, anfser
in den Fillen y = 0 und y =1.
336.
Satz 8. Die Gleichung x2 +- 2 = y besitzt nur die eine
Lösung x = 5, y = 3. (Fermiat'sche Ausg. d. Dioph. S. 320.)
Wenn niimlich diese Gleichung stattfiände, so mifste y von der
Form p12 + 2 q2 sein; mai miiüfste demnnach setzen:
x + 1/- 2 _ (r6 + G q: —2),
wodurch man erhielte:
1 = 3p2q - 2q3,
mithin:
q - l, p —=- 1, - 3, x -5.
337.
Satz 9. Die Gleichung x2 + 4 = y3 besitzt nur die beiden
L ösungen x = 2, y = 2 iund x= 11, y/ -5.
Denn da y von der Form p2 +- q2 sein mFs, so lia.t man zu
setzen:
x + 2 -i = (2 +q 1/-ii )3.
Dies giebt:
2 = 3p2q - q.
Dieser Gleichung kann man aber nur genügen durch die Werte
p = 1, q = 1, oder durch die Werte p - 1, q = - 2, und diese
ergeben die beiden erwähnten Lösungen.
Bemerkung. Wir haben in diesem Paragraphen bewiesen,
dafs die Gleichung x3 y+ 3 3,= ferner die Gleichung x4 - / y4,d2
und umsomehr die Gleichung x4 - -y == 4 unmöglich ist. Fermat
hat aufserdem behauptet (Ausg. d. Dioph. S. 61), daafs allgemein die
Gleichung x + yf = z unmöglich ist, wenn n gröCser ist als 2.
Hierüber findet man unten im sechsten Hauptteile einige Untersuchungen.