Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

266 Fünfter Hauptteil.
577.
Zunächst müssen wir die Bestimmung der Winkel a,, "'..,
welche vermittelst der allgemeinen Formel
1
A() = n2 (cos,(l-) /+ 1i- sin e(1,))
die Werte der Grössen A, A', AÄ,... ergeben, in Angriff nehmen.
Nachdem wir hierzu bereits BR cos t + ]/- 1 sin g und - = =-24 -15
gesetzt haben, wissen wir, dafs A(',) aus A entsteht, wenn man in
dem Ausdruck von A:RI"+l an die Stelle von R setzt. Man erhält
daher aus der Gleichung (1) allgemein:
A(= ) - 2 2R2-n+2 _ 2R6,mn+6 + 2RsL-8 + 2R1om+10
_ R12g2+12 _- 2R20,n+20 - 2R26+26+2.
und diese Formel reduciert sich wegen R15= 1 auf die folgende:
(5) A(l) -2 — 2/ 2 lt+2 - 2R6in+6 + 2R8)n+8 + 2R102o+10o
+ Rl2m+12 _ 2R5n+5 __ 2Rl1n+ll.
Hieraus ergeben sich zur Bestimmung des Winkels em(n) zwei allgemeine Gleichungen, nämlich:
1,~ 2 cos ("")= —2-2 cos (2m+ 2),u-2 cos (5-^+5), — 2cos(6 m-+6),u
+2cos (8 m + 8), -+2cos (10 m+10) — 2 cos (lm1,+ 1) G
+ cos (12m + 12) t.
1
n sin () -sin (2m 2)- 2 sin (2+2) sin(5 +5) -2 sin (6m +6) gt
+2sin(8n +8),u +2sin(10) + 10),-2sin(11 me+1l)
+ sin (12mn + 12),u.
Da jedoch 15, = — 2 ist, so hat man allgemein:
cos (15a +- b)gt = cos bSt und sin (15a + b)g = - sin bt,
und hierdurch nehmen diese beiden Gleichungen die folgende Form an:
1
n2cose()) =2- 2cos(2 + 2), + cos(3m + 3) - 2os(4m+ 4),u
-2cos(6mn + 6)u + 2cos(7m + 7)$,
2i -sin<>. —2sin(2m - 2) - sin (3mn + 3) + 2sin(4m+4) t
- 4sin (5n + - 5)- 2sin (6mt + 6)- 2sin (7m +7)t.
Hieraus ergeben sich die besonderen Formeln: