Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X= — zu gelangen. 265
oder allgemein
2k + <.. 2 kv
R -- cos l5 + Y- 1 sil —
nehmen, wo k eine der acht Zahlen ist, welche kleiner als 15 und
prim zu 15 sind. Wie wir gesehen haben, kann man die Funktion
A, welche in der Gleichung T2 = AT' vorkommt, aus dem soeben
gefundenen linearen Werte des Koefficienten a herleiten; man hat
dazu nur jedes Glied p(C) in R-30-2" zu verwandeln. Dies giebt:
(1) A-= 2 - 2 + 2- + _+ _ 28 o _2_1+ R1 2/20 2 26.
Setzt man also wie gewöhnlich:
(2) T=p + pR + '1R2 + 12 "B +.. +. pXV1X14
so erhält man die Gleichung T2 = AT', aus der sich noch mehrere
andere für die Lösung unserer Aufgabe sehr brauchbare Gleichungen
ergeben. Denn man mufs sich erinnern, dafs wir mit ', 1', " '...
diejenigen Gröfsen bezeichnet haben, welche aus dem Polynom T
entstehen, wenn man nach einander 12, 1, R4,... an die Stelle von
R setzt. Ebenso bezeichnen A', A", A"',.. diejenigen Gröfsen,
welche aus dem durch die Gleichung (1) bestimmten Polynom hervorgehen, wenn man darin 1R2 3, R,... für R substituiert. Hiernach ergiebt die Gleichung T2 = AT' und diejenigen, welche aus
ihr entstehen, die folgende Reihe von Gleichungen:
T2 = AT, T2 = A'T", TT"2 ÄAT" T
'"' 2 - A"' TVII T'IV2 - AIV TIiX TV2 A V TX
(3) TVI2 = AVI IIIII TVII2 AVII T,VIII2 AVIII T"
TIX 2 _ AIX TIV TX 2 AX TVI TXI2 = AXI VIII
1XIIS2 AxII TX T XIII 2 _ A XIII TXII
Ferner läfst sich, wie im vorigen Paragraphen, leicht zeigen, dafs
die Funktionen T der Gleichung T(i)T(I3-i) = n genügen, und dafs
dasselbe von den Funktionen A gilt, so dafs man also folgende
doppelte Reihe von Gleichungen erhält:
n -t= — TTx III T' TxII- T" Tx T" ' T1 x T1V _ix- TV JS viII
(4) T= TVI VII
1 A.A- A ' AXII =. AAXI - A"'AX - AIVAIX - AVAVIII
- AVIAII
Diese Gleichungen enthalten die Hauptelemente der allgemeinen
Lösung, die wir entwickeln wollen.