Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Verfahren, um zur allgem. Auflösung der Gleichung X=0 zu gelangen. 263
Setzt man aber nach einander k = 0 und k ==, wodurch sich
PO-= und P = p ==x + x- ergiebt, so erhält man zur Bestimmung von a und ß die Gleichungen:
1 = a
x + x-~ = cx + ß3x-1,
und aus diesen folgt:
1-1
Of~ - x / D p l- x2
Man hat daher:
xk -- xk 2
1 -x2
X-k+l _ xk+l
Pk-1 — t 2 +
und endlich:
i - x2k+l
Pk + Pk-, X — X-k -- X.
Mithin wird die Gleichung X = 0 allgemein durch eine Gleichung
in p vom Grade k dargestellt, welche lautet P+Pk + Pk-1 = 0.
574.
Nunmehr müssen wir auf die Gleichung (A), in welcher k = -2
ist, dieselbe Reduktionsmethode anwenden, von welcher wir schon
im vorhergehenden Paragraphen verschiedene Beispiele gegeben haben.
Diese Methode, die bereits einigen Modifikationen unterliegt, sobald
k keine Primzahl ist, macht ziemlich beträchtliche Änderungen erforderlich, sobald k eine gerade Zahl ist, und besonders sobald diese
Zahl mehrere Teiler hat. Deshalb wollen wir nach einander
verschiedene Werte von n-betrachten, die wir so wählen, dafs
sich in den verschiedenen Beispielen, deren Lösung wir geben werden,
so ziemlich alle Schwierigkeiten vereinigt finden, die sich bei jedem
andern gegebenen Falle darbieten können.
575.
Erstes Beispiel. n =31, k = 15.
Alsdann ist die Gleichung, um deren Auflösung es sich handelt,
die folgende:
o -- 14p15 _ 14p3 + 78p1 - 220p9 + 330p7 -252p5 + 84p3 - 8p
+0 14 _ 13p12 _ 66p10 - 165p8 + 210p6 - 126p4 + 28p2 - 1,