Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Sätze über die Potenzen der Zahlen. 13
und zwar setzt dies a = - ßy voraus, wo die drei Zahlen a, ß, y
prim zu einander sind. Hieraus ergiebt sich die Gleichung:
P3 + y3 2ma3,
welche der gegebenen ähnlich, und in welcher a, ebenso wie a, nicht
durch 3 teilbar ist.
Da sich in beiden Fällen die gegebene Gleichung auf eine Gleichung reduciert, welche dieselbe Form besitzt, aber aus viel kleineren
Zahlen gebildet ist, und da diese Rechnung unendlich oft wiederholt
werden kann, so folgt daraus, dafs diese Gleichung unmöglich ist,
aufser wenn z- 0, oder auch z = 1 und zugleich mn = 1 ist.
334.
Aus den beiden vorhergehenden Sätzen folgt, dafs die Gleichung
x3 + y3 = Az3
unmöglich ist für die Werte A= 1, 2, 4, 8, 16,... Es
würde sich mittelst derselben Methode leicht beweisen lassen, dafs
sie für die Werte A = 3, 5, 6 und unendlich viele andere
ebenfalls unmöglich ist. Wäre aber A = 7, so würde man der Gleichung x3 +- y3 = 7Z3 offenbar genügen können durch die Werte x = 2,
y =- 1, - 1. Ebenso würde die Gleichung x3 + y3 = 9z3 befriedigt werden durch die Werte x =-2, y 1, z= 1. Wir werden
später zeigen, dafs bei dieser Art von Gleichungen eine bekannte
Lösung genügt, um unendlich viele andere daraus abzuleiten.
335.
Satz 7. Keine Trigonalzahl, aufser 1, ist gleich einem
Kubus.
Denn nehmen wir an, dafs - x (x + l) = y oder x (x + 1)= 2y3
sei, und setzen wir y = mn, wo mi und n zwei zu einander prime
Zahlen sind, so läfst sich diese Gleichung nur auf eine der beiden
folgenden Arten zerlegen:
1 + x. = 2 13 1 + -X n23
(1) Z- nS' (
+ x=2, x = 233,
und diese geben:
3 +4- 1 = 2m3.
Nach dem vorhergehenden Satze kann diese Gleichung nur bestehen, wenn n = 1 ist. Mit Ausnahme der beiden Fälle x 0