Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

256 Fünfter Hauptteil.
Ferner haben wir gefunden:
1 =L + 2M + 22N + 2P,
folglich:
L + 6M,
oder:
L 1 -6M.
Hieraus folgt:
n = 1 - 7M,
also:
M= N - P=-, L= 1 + 6m.
Mau erhält daher die vier Bedingungsgleichungen:
1- m =6 - a2 + ß2 + y2 + d2 + 82 + g2 + + 2 = a2
- n = + { +e -- o + ~ + +i + 0= c4
- m = ay -+- ßdö + - + d- + +l - + - = Lay
-- m = Oa + /ßE -1- y; + f + Ea + pß + Y- =E aO.
Durch diese Gleichungen wird bereits die Gleichung
ec + + C + + + N- t
ausgedrackt; letztere liefert also keine neue Bedingungsgleichung.
Aus der ersten Gleichung erkennt man noch, dafs die gröfste
der Gröfsen ~a, /,... X kleiner als 1/1 + 6m aber gröfser als
1i + 6 m.
] - y- ist.
568.
Nachdem wir die neue Reduktionsmethode für die allgemeinen
Fälle n =- 5m + 1 und n = 7n + 1 hinreichend auseinandergesetzt
haben, glauben wir nicht nötig zu haben, noch weitere Anwendungen
davon zu geben. Wie man sieht, gelangt man immer auf mögliehst
einfache Weise zur Auflösung der Hülfsgleichung, welche die Perioden
von m Gliedern, in welche die, alle Wurzeln der gegebenen Gleichung
X 0 enthaltende, Periode ( - 1:1) zerfällt, zu Wurzeln hat.
Da die Hülfsgleichung dritten Grades, welche im Falle
n = 3m + 1 stattfindet, und deren allgemeinen Typus wir in No. 514
angegeben haben, mittelst der gewöhnlichen Methoden sich leicht
behandeln läfst, so haben wir uns bisher mit derselben nicht beschäftigen zu müssen geglaubt. Um jedoch diese Theorie mit möglichster Gleichmäfsigkeit darzulegen, wird es nicht unnützlich sein,
wenn wir unsere allgemeine Reduktionsmethode auch auf diese Gleichung anwenden.