Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Reduktionsmethode zur Vervollständigung der vorstehenden Theorie. 255
567.
Wir bemerken noch, dafs die gefundenen Gleichungen aufser der
bekannten Gleichung
1 - c + P + r + s + E + g + W
noch drei Bedingungsgleichungen zwischen den Koefficienten oc, P, y,...
i 1
liefern. Erhebt man nämlich die für n2 cos e', n2 sin e gefundenen
Werte ins Quadrat, und addiert man sodann diese beiden Quadrate,
so findet man die Bedingungsgleichung:
n = L + 2Mcos iu t- 2N cos 2,g + 2P cos 3g,
in welcher
L= 2 +2 + +2 +2 + 2 + g2 + 2 =Z C2
M = ad + F - + ry + fa + g~ + jy- I+a
P= aß + ßy + yr + e + Eg + g + ' == ya
P == ay+ ß6 + Vs + ag + & + ga + ri= =I
ist. Ferner ist zu beachten, dafs L + 2M + 2N + 2P das Quadrat
der Gröfse c f- + -+ y + 6 + E + g + -, welche den Wert - 1 besitzt, ist und dafs somit die Gleichung besteht:
1= L + 2M+ 2N+ 2P.
Sodann kann man in unsrer Gleichung ^t in 2, verwandeln; dies
ergiebt dasselbe Resultat, welches man aus den Werten von n2cos,
n2 sin Y' erhalten würde. Ebenso kann man t in 3,u verwandeln,
wodurch man dasjenige Resultat erhält, welches aus der Elimination
von Y~ entstehen würde. Mithin erhält man die beiden andern
Gleichungen:
n = L + 2M cos 2g + 2N cos 3g + 2P cos t
n =L + 2Mcos 3,u + 2N cos + -2Pcos 2.
Setzt man jetzt für 2 cos 3 i seinen Wert - 1 - cos - 2 cos 2, so wird:
n =L -P+ 2(M- P) cos + 2(N — P) cos 2i.
Da nun die Gröfsen cos g und cos 2g auf einander nicht reducierbare
irrationale Gröfsen sind, so mufs, damit diese Gleichung bestehe,
M-1P, N= —P
sein. Mithin ergiebt sich:
- L -M.