Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

252 Fünfter Hauptteil.
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T n2 (cos g + /-i sin Xl), T' _ '2 (cos q' + -/- sin up')
setzen können, die Gleichung:
-oder A ==)i (cos (2p - - ') ( --
und somit ist der reelle Modul der (Gröfse A ebenfalls gleich n2,
und dies gilt in gleicher Weise von den andern analogen Gröfsen
A' A"...
565.
Wir wollen jetzt zusehen, wie man den Wiert von T als Funktion
der Gröfsen A ausdrücken kinne. Wir haben zunächst:
T-4 A9 '42..A'..T"
folglich:
T- A4A'2 T"'2 A'A"'T,
oder:
T7 -Ä4lA'2A"'.
Demnach läfst sich das Polynom T mittelst der Gröfsen A, welche
Funktionen allein von R sind, ausdrücken.
Setzt manl - u — ^, wo k eine beliebige. der Zahlen 1, 2, 3, 4,
5, 6 ist, so erhält man:
1 =cos -4 + /- -lsinrl
1t2 = cos 2,a + /- 1 sin 2au
f3 -- cos 3g - - V- sin 3i,
1 -= cos 3u - 1/- sin 3/
= — cos 2 - - / 1 sin 2,t
jR6 = cos fi - i- l Sill E,
ud a 1 befr eichun - ist, nichts andres ist alsde tor
R - l befreit ist, lliclhtts anr[li'es ist als
o,- -1 + E + 12: + " 4- +I 4 + 1i' + R6,
so genügt der Winkel t der Gleichung:
0 1 + 2 cos, + 2 cos 2,t( + 2 cos 3-,
oder, wenn man 2 cos, = x setzt, der Gleichung:
0= x +-x - 2x - 1.
D)ie drei Wurzeln dieser Gleichung sind 2 cos i, 2 cos 2,, 2 cos 3,;
von diesen ist eine positiv und zwei negativ.