Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

4. Reduktiousmiethode zur Vervollstuändigung der vorstehenden Theorie. 249
Bezeichnen wir sodann durch RI eine der imaginären Wurzeln
der Gleichung R7 - 1 = 0, d. h. bedeutet I den Ausdruck:
1 = cos - + /- I sin 7,
wo k7 eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 ist, so setzen wir:
T =p + p ' + p"R2 +1 p" I + p)'R' + pVIJ + pVIR'.
Erhebt man sodann diese Gröfse ins Quadrat und setzt man:
T2 = a + bR + e14 + dl +- CRS + ftl0 + gR12,
so erhält man, wie leicht zu sehen:
a =p' + 2p"pVI + 2.p".V + 2p". IV
ab -p + 2p) P + 2) pVIp + 2 1IV)V
C-...2 + 2p1' p,, + 29pIv + 2p)V 1
d =_ p"2 +- 21IVp' + 2pV' + 2'pVI
e - p"IV2 + 21-p"V + 2VI - + 2pp
f pV2 + 2WpVIpIV + 21p + 2r p
y= p1+ + 221PI + 22'" + 2 ".
Ferner hat man diese Koefficienten auf die lineare Form zu reducieren, so dafs sich ergiebt:
a =- a - + ßp'- yp" + p' + EpIV+?v + "jpVI
Wie man sieht, kann man aus dem Ausdrucke von a denjenigen der
folgenden Koefficienten b, c, d,... ableiten; denn um von einem
Gliede zum folgenden überzugehen, braucht man nur alle Buchstaben
p1, p,.. 1um eine Stelle vorrücken zu lassen, während die Koefficienten a, p, y,... dieselben bleiben. Man erlhäilt daher folgenden
Ausdruck von 2:
12 = -ap + p' ) + pp' + + "' + s + + VI
+ R2 (ap' + p + + + +_ QpWIV + 8pV + tpVI + np)
+ R4 (xap + ß/pp" + ypIV + apV + EVYI +:p + hp')
+ 16i (a t"' + JpIV + y<V + d1VI+ -H + g ' + hp")
+ 8R( (pIV + Pßp + YpI + öp + sp' + W?' + n"p')
+ R1o(pv + p + + 3Vp' + pp" + t'p E' + wp' + pV)
+ R12 (apVI' + +i + 7r + &p + p + pIV+ YpV).
563.
Ordnet man eben diese Gröfse in Bezug auf die Wurzeln p, p',
p,... so wird dieselbe: