Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

12 Vierter Hauptteil.
mithin:
g (f2 g)_ x + y _ -
v ) 18
In dieser Gleichung mufs g durch 22m~- teilbar sein, denn es ist
f2- 2 eine ungerade Zahl, weil f/2 - 3g2 eine solche ist. Da ferner
die drei Faktoren g, f'+ g, f - g keinen gemeinschaftlichen Teiler
haben, so mufs die vorstehende Gleichung in drei andere zerfallen,
nämlich:
9 -, f21a3 +g ß P _-=Y3
aus denen folgt:
3 - y- =- 2 t,
also eine Gleichung, welche der gegebenen ähnlich und aus viel
kleineren Zahlen gebildet ist.
Ist zweitenis z nicht durch 3 teilbar, so zerfällt die gegebelne Gleichung in die beiden folgenden:
x + y - 2^ a3
x2 - xy + y2 r3,
wobei z = ar und r prim zu a vorausgesetzt ist.
Wird die letzte Gleichung auf die Form
(+ Y)~+ 3 ( -Y) r3
gebracht, so sieht man, dafs r von der Form f/ + 3g2 sein mufs. Setzt
man daher wie im ersten Falle:
/= + 3g,
(f+y/- 3)2 =F+G /-3,
so erhält man:
r3 F-2 + 3G2,
und daraus folgt die Lösung:
x + y 2F, x y - 2G.
Es ist aber:
F=f(f - 9g2),
mithin:
2 m-1a (/V2 9-2)
Da die drei Faktoren der rechten Seite f, f' —3g, f- 37 prim zu
einander sind, und ' f- 9g2 stets eine ungerade Zahl ist, so kann
diese Gleichung nur bestehen, wenn man hat:
f= 2i1-a3, f'+ 3g= ß3, f _ 3g = y3,