Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

246 Fünfter Hauptteil.
setzt, auf die Form bringen:
0 = 42 - 4a(5mn + 2) + 25a2 + 5 + 2t2 2 - 2.
Eine zweite Bedingungsgleichung ergiebt sich aus der Gleichung:
0 = ZEß - Eay,
welche man auch folgendermafsen schreiben kann:
t2 - 4t - u2 = (4 + 10mn)b - 25ab.
Man findet aber leicht, dafs diese beiden Bedingungsgleichungen
mit den beiden übereinstimmen, welche wir im vorigen Artikel angefihrt haben, und die oben auf einem sehr verschiedenen Wege
gefunden worden sind; und es scheint nicht, als ob noch eine dritte
existierte, vermittelst deren die Unbestimmtheit, welche hinsichtlich
der Koefficienten A, B, A', C', CD übrig bleibt, vermindert werden
könnte. Ubrigens liegt diese Unbestimmtheit in der Natur der Sache,
da die in Rede stehenden Koefficienten von der Wahl der zu ihrer
Bestimmung dienenden primitiven Wurzel abhängen; andrerseits aber
mufs man beachten, dafs keiner dieser Koefficienten negativ sein
darf, und man kann aus den bereits gefundenen Resultaten schliefsen,
dafs die Unbestiimmtheit, welche noch in Bezug auf dieselben besteht,
sich darauf reduciert, dafs, wenn C mit D vertauscht wird, gleichzeitig A-B in C'- A' übergeht.
Dies bestätigen auch die vier in Artikel 557 zur Bestimmung
voln und ' gegebenen Gleichungen. Denn da diese Winkel dieselben bleiben müssen, welchen Wert man auch für die primitive
Wurzel genommen haben möge, und sich nur höchstens gegenseitig
vertauschen können, so kann die Änderung der primitiven Wurzel
keine andere Wirkung hinsichtlich der Koefficienten ß, y, d, E hervorbringen, als dafs y und d durch ß und E und ebenso ß und E
durch y und d ersetzt werden; in jedem Falle aber bleibt ac dasselbe.
560.
Wenden wir jetzt die vorstehenden Formeln auf den
Fall n = 41 oder mn- 8 an, so erhalten wir aus Artikel 528 die
Werte:
A =3, B=O, C= 2, D = 1 A'=2, C'=2,
und hieraus:
a =- 2, =3, y 2, = - 4, E = 0.
Die Winkel a und U' ergeben sich sodann aus den folgenden Glei2 kg
chungen, in denen,t 5 gesetzt ist: