Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Reduktionlsmethode zur Vervollständigung der vorstehenden Theorie. 245
559.
Da wir nur drei Gleichungen zur Bestimmung der fünf Gröfsen
ca, p, y, 6, gefunden haben, so sieht man, dafs die Aufgabe, sie
von vornherein blofs aus der Primzahl n == 5n + 1 abzuleiten, sehr
unbestimmt ist.
Wir haben oben (No. 524) die Formeln gefunden:
pp = Ap + Bp' + C'? + Dp"' + -CpV
pp"- A- + Cp'+ C"V Dp'p + 1)p+
Hierin treten sechs Koefficienten A, B, A', C', C, D auf, zwischen
denen die zwei einfachen Gleichungen:
A + -B= - 2C- D
A'+ C' =m- C - 2D
und zwei andere verwickeltere bestehen, nämlich:
A'' + AB - (A + B - D)2' + C - CD + D2 - -:D
A'(A - -) = C2 - C(A + 2B - D + 1) + A2 + D -- )2.
Man erkennt hieraus, dafs man noch -über zwei von den sechs Unbestimmten zu verfügen hätte, gleichwie wir soeben gefunden haben,
dafs noch zwei von den fünf Unbestimmten a, /, y, z, 8 zu bestimmen bleiben.
Diese Resultate bringt man leicht in Übereinstimmung mit einander, wenn man den Wert von a, welcher gleich
p2 + 2p "p" + 2ppIv
ist, auf die lineare Form ap + ßp' + p + p- " + "-ev bringt.
Dies giebt:
c -- --- 2m9n + 5(C + D)
2C' -- B - -D
y 2A - ' - C
- 2B -- A' - C
— 2A'-A - D.
Denn substituiert man diese Werte in die Gleichung:
a2 + ßs + y2 + S2 + 62 = 4i + 1,
so erhalt man als Resultat die Bedingungsgleichung:
AB + A'C' - - - (4w + 1) (C + D) + 5 C2 + 7 CD + D2.
Dieselbe läfst sich, wenn man
a =C + -D, b - D, t A - B, u A' - C'