Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

244 Fünfter Hauptteil.
Erhebt man jetzt die beiden Gleichungen, welche die Werte von
1 1
co2 cos und n2 sin &4 ergeben, ins Quadrat und addiert sie sodann,
so findet man:
2 = a + 2 + 2+ + 2 + 2 + 2 < (y + a) cos j + 2~ ( + p) cos2,6
+ - 2 (y + j 3) Cos - + 2 (y + t ) cos 2 t
+ 2ßE cosa + 27 cos 2.
Setzt man:
p = o2 + ß2 + y2 + ä2 +_ 2 _ j a2
Q = ~r + ps + 4" + ia c+ Eß =- ay
R = ca + fy + yr + ÖE + ~c-= =,
so wird:
n - P + 2Q cos -t + 2R cos 2 t.
Wird 2t für gt gesetzt, so erhält man das Resultat, welches in analoger Weise die beiden, den Winkel 4' bestimmenden Gleichungen
ergeben würden, nämlich:
n = P + 2Q cos 2g + 2R cos g.
Setzt man diese beiden Werte einander gleich, so folgt daraus zunächst:
Q=R,
und sodann:
n = 2 (o + cs 2, + o) = P - Q.
P +2Q + 2R ist aber offenbar das Quadrat der Summe
a + ß + y + z + E,
und da diese Summe gleich -1 ist, so hat man P + 4Q =1,
mithin n = 1 - 5Q und Q =- m. Hieraus sieht man, dafs die
Koefficienten a, P, y,, den folgenden Gleichungen genügen:
1 + 4m- + = a2 _+ +2 + 2 + _2 y _Z2
- = a3 + 3y + 4 4 + dE =+ tcaß
- z= y + ßp + - E + a + - - =- Zac
von denen eine die Folge der Gleichung
-- 1 - +, + 7 + r + 8
ist. Die erste zeigt allgemein, dafs die gröfste der Gröfsen a, ß, y,
6, E, abgesehen vom Vorzeichen, kleiner als 1/1 + 4mn und gröfser
als j/1 + 4 sein mufs.
yi /1t m