Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Reduktionsmethode zur Vervollständigung der vorstehenden Theorie. 243
In den besonderen Fällen folgen aus dem gegebenen Werte der
Primzahl n = 5m + 1 und dem Werte der Zahl g, welche eine primitive Wurzel von n ist, die Werte der Koefficienten oc, ß, y, 6, E,
wie wir dies bei dem Falle n = 41, g = 13 (Artikel 551) gesehen
haben, wo wir a -- 2, = -3, y 2, = - 4, = 0 fanden.
Man mufs demnach die Winkel a9 und 9', aus denen sich co = -+
ergiebt, durch die vorstehenden Formeln als vollkommen bestimmt
ansehen, so dafs in dem Ausdrucke der Wurzel p, welcher implicite
den der andern Wurzeln p', p", p"', pIV einschliefst, nichts Unbekanntes mehr übrig bleibt. Jedoch wollen wir die Gleichungen
für a und f' benutzen, um daraus einige allgemeine Beziehungen
zwischen den Koefficienten a,, y, ä,, abzuleiten.
558.
Wir bemerken zunächst, dafs allgemein die Gleichung gilt:.x + + +=- y + + 1.
Man setze nämlich wie oben:
a = p2 + 2p"p"' + 2ppIv,
und stelle ebendiese Gröfse, nachdem man sie auf lineare Glieder
reduciert hat, durch die Formel
a= ~ap4 + ßp'+ 7" + y'" + ~p I
dar. Betrachtet man dann die andern vier Koefficienten b, c, d, e,
welche aus dem Koefficienten a entstehen, indem man nach und nach
jeden der Buchstaben p, p', p, p... pIV um eine Stelle vorrücken läfst
und dabei p für pv setzt, so. wird man für die Summe der so gebildeten fünf Werte zwei verschiedene Ausdrücke erhalten. Der erste
derselben ist:
ya = I2 + 2 2p'"+ 2+ 2 'pIV
Es ist aber:
Xp2 =_;n - m; 2, pp"= p-p' --- = -- - p'pIV - pp"= - mn,
mithin:
Sa = n- 5 -- 1.
Der zweite Ausdruck ist:
Ea = ( + ß + y + + E) )p,
und da p-= - 1, so giebt die Gleichsetzung der beiden Werte
von Za:
Zia oder a + ß 4-y + 6 - +1.
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