Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

242 Fünfter Hauptteil.
bringen kann, giebt allgemein:
-i+yö
cos 4-,
so dafs cos t stets einen von diesen beiden Werten besitzt, welches
auch die Zahl k sein möge, wofern dieselbe nur nicht durch 5 teilbar
ist. Setzt man z. B. k =1, oder R = =5 72~, so wird:
-: +.| -5 1 - y^ -
cos -u- 4 cos 2L 4 -
Substituiert man, nachdem dies vorausgeschickt ist, den Wert von
R in die Gleichung:
A = a + B2 + diR4 + yRi + +PRB8,
und setzt man zu gleicher Zeit für A seinen Wert:
i
n2(cos + V- 1 sin ),
so erhält man zur Bestimmung von a die beiden Gleichungen*):
1
2 cos = c + (y + *) cos K + (E + p) cos 2.2.sin a-= (y - 6) sin K - + ( - p) sin 2.
Sodann braucht man nur 2 für iu zu setzen, um den Wert von A',
welcher durch n2 (cos - + 1/- 1 sin ') dargestellt wird, zu erhalten,
so dafs sich ergiebt:
1
2 cos a - ( ) + 6+ ) cos 2c + ( + P) cos K
1
2 Sill ' (y -?) sin 29 - (E - p) sin y.
*) Man erhält hier zwei Gleichungen zur Bestimmung des Winkels oder
Bogens 4. Der Grund hiervon ist der, dafs der Endpunkt des Bogens 9 ein
Punkt des Kreisumfanges ist, welcher nur durch seine beiden Koordinaten cos
und sin a vollständig bestimmt sein kann, und zwar müssen die Werte der
letzteren auch hinsichtlich ihrer Vorzeichen bekannt sein. Wenn nur eine dieser
Koordinaten bekannt wäre, würde dieselbe zwei Punkten des Umfanges gemeinsam sein, und es wäre ungewifs, durch welchen von diesen beiden Punkten der
Bogen a bestimmt werden müfste. Was den Faktor n2, mit welchem cos a und
sin 9 behaftet sind, angeht, so ist derselbe, weil er den Modul einer imaginären
Gröfse darstellt, stets positiv zu nehmen. Denn in der Formel
r' (cos p +- /- sin ep),
welche eine beliebige imaginäre Gröfse darstellt, darf der Modul r stets positiv
vorausgesetzt werden, da man ja dadurch, dafs man r- + p für qp setzt, das
Vorzeichen dieser Gröfse nach Belieben zu ändern imstande ist.
Anm. d. Verf.