Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Reduktionsmethode zur Vervollständigung der vorstehenden Theorie. 241
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man diesen Wert sowie den von A n2 (cos f + - 1 sin ü) in
T2
die Gleichung T'= so erhält man:
T'= n=2 (cos (20 - 9) + 1/-1 si (2o - )).
Sodann ergiebt sich aus den Gleichungen TT"'"=, 7T' T"= n:
T" = n2 (cos(2- -- )- 1 sin(23 - ))
"' n 2 (cos ( - / 1 sin G)
Um nun die Wurzeln p, p p, p'" pI, zü bestimmen, haben wir
nur noch die Werte von 1, T', T", T'" in die Gleichung (5) einzusetzen, wodurch wir erhalten:
1 2n'
2=- - + -n - [cos + cos (2o -- )].
Diese Formel, welche den Wert der Wurzel p liefert, giebt in gleicher
Weise den Wert der vier andern Wurzeln p, p", p"', pV, sei es in
der durch die primitive Wurzel g bestimmten Ordnung, sei es in der
umgekehrten Ordnung, vorausgesetzt, dafs an Stelle von co der Reihe
2n7 4 G6t 8s
nach oG) -+ 5c- G) + -c - gesetzt wird.
Man erhält also auf diese Weise die allgemeine Auflösung der gegebenen Gleichung. Dieselbe hängt nur von der
Fünfteilung eines Winkels co = 2- + -' ab, den man geometrisch
konstruieren kann.
557.
Wir kehren zu den Formeln, welche die Werte der Winkel ~
2 kz
und 4' ergeben, zuriick. Setzt man 5 = p, so erhält man:
- = cos -+- V- l sin t
R2 cos 2 + 1/ —1 sin,t
3R = cos 2.t - /- 1 sin 2 t
R4 =cos 1 - - lsin g,
und die Gleichung 0 = 1 + R + R 2 + 1R + 1R4 geht über in:
0 =1 +- 2 cos - + 2 cos 2,g.
Diese Gleichung, welche man auf die Form
0 = 4 cos2 st + 2 cos t - 1
L e g e n d r e, Zahlentheorie II. 16