Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

238 Fünfter Hauptteil.
Man hat daher die beiden Systeme von Gleichungen:
n = TT"' T' T"
n -AA"' - A'A".
Da man allgemein
B= cos - + /- lsin 2k
5 '5
setzen kann, wo 7 eine der Zahlen 1, 2, 3, 4 ist, so ist ersichtlich,
dafs die Gröfse A als ganze rationale Funktion von B durch die
Formel sich ausdrücken läfst:
A = r (cos ü + 1- 1 sin ü),
und da AA"' = n ist, so folgt hieraus:
A"' - (cos - / — 1 sin U).
Andrerseits erhiält man den Wert:
A + A' = 2a + E (2 ) + (R4 + jI)
+ (ir+ )+ P (r + 18),
woraus folgt, dafs A + A"' eine reelle Gröfse ist, welche sich
folgendermafsen darstellt:
4kr 81 '712k r 16/k;7=
A-{-A 2 +2Ecos + 2cos- 2cco s cos — +2cos --
Demnach lmuifs
flt
r - - O0 oder r -/?
sein, und es ist somit allgemein:
1
A = n2 (cos g + /- 1 sin Si ),
1
d. h. der reelle Modul der imaginären Gröfse A ist stets gleich n2.
In analoger Weise findet mani:
1
A = -2- (cos ~ + J/-1 siln '),
und aus diesen beiden. Formeln folgt:
1
A" - 27 (cos ' - P- sin r')
' ( -
A"' = n2 (cos ~ - j/-] 1sin V).