Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

236 Fünfter Hauptteil.
(3) Tr = A T'; T'2 A'T"'; T"2 = -I"T; T'2- A"T T,
und mnultipliciert lman diese mit einander, so folgt:
TT'"T'T"'= AA'A"A"'.
Man sieht ferner, dafs sich die drei Polynome T', T", T"' in
folgender Weise rational mit Hülfe von T ausdrücken lassen:
T2 T 4 T8
A' Asetl m" A4, A- A
~A v A2As AA'; ~ "A^I^'7" A
und setzt man diese Werte in die Gleichung TT'T"T"' A'A"A"'
oder in die Gleichung T"2 A" T ein, so ergiebt sich in beiden
Fallen das Resultat:
(4) T15 A8A'"'2A".
Auf diese Weise haben wir bereits ein Mittel zur Bestimmung des
Polynoms T als Funktion der Gröfsen A, welche samtlich bekannt
sind; denn wenn die Zahl n gegeben ist, kann man leicht die Koefficienten a, /, y, 6, E, welche in dem linearen Werte von
a = p2+ 2p"p"' + 2p'pIV
vorkommen, und welche sämtlich ganze Zahlen sind, ermitteln. Setzt
man z. B. n = 41 und nimmt man als primitive Wurzel die Zahl
g - 13, so findet man nach Artikel 537:
a = - 2p + 3p' + 2p" -4p",
und dies giebt in unserm Falle:
a - 2, ==3, y =2, 6=- 4, ==0.
Kennt man T, so leitet man daraus mit Hülfe der vorstehenden
Formeln die Werte von T', T", T'" her. Addiert man sodann die
vier Gleichungen (1) und verbindet damit die Gleichung:
- 1 = p + P + p + p`' + pIV
so erhält man zur Bestimmung von p die Gleichung:
(o) 5p =- + T + ' + r' + "'.
Man erkennt daher unmittelbar die Möglichkeit, die Wurzel p mittelst
der Gröfsen A, welche Funktionen von R sind, zu bestimmen. Indessen
würde diese Auflösung zu kompliciert sein, da bei ihr T durch
die Gleichung (4) d. h. durch Ausziehung einer 15ten Wurzel bestimmt
würde, während es, wie wir jetzt zeigen wollen, leicht ist, sie blofs
mit Hülfe einer fünften Wurzel zu bestimmen.
552.
Multipliciert man die beiden Polynome T und T"', welche ähnliche
Funktionen von R und _B4 sind, mit einander, so wird das Produkt: