Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Reduktionsmethode zur Vervollständigung der vorstehenden Theorie. 235
so ist leicht zu sehen, dafs AlR2, AR4, AR6, AR8 in analoger Weise
die Funktionen von /1 darstellen, mit denen p', p", p', pI multipliciert sind. Setzt man also:
A = a + 4 + 2 + + + ßR8,
so erhält man:
T2 = A(p + pB R + Bp 4 +p12 f' R + 1IVR8).
In dieser Formel ist die rechte Seite das Produkt aus A, welches
eine Funktion von R allein ist, und dem Polynom
p +- pR2 + pp"1 + p'B6 _piVR8,
welches nichts anderes ist als das Polynonm T, wenn man darin PI2
an die Stelle von lR setzt. In ähnlicher Weise könnte maln R3 und
R4 an die Stelle von 1R setzen und so die vier Polynome bilden:
T =pr+frE ~f'112+p2ffR3 +pIVRl
(T1 = p + pR2 + p"R1 + pi'R + p'8
r'" += _p + 3 + p".6 + p" 'R9 + pIVl2
T"= pv + p2 '/ +- p'18 +/ p"'S12 + pIVl16.
Es ist auch gut, die vier Polynome zu betrachten, die in ähnlicher
Weise aus dem ersten A gebildet sind, nämlich:
A - — o + 2 + öR4 + yR6 + ßR8
(2) A' o + E1 + Öa8 + ylR1 + Pß16
A" -=6 + E1R6 + R12 1 + 8 + ßR24
A"' = a - 8 +_ 4- '16 + yR24 + j132.
Diese beiden Arten von Funktionen werden uns ebenso
allgemeine wie interessante Sätze liefern.
551.
Der erste von diesen Sätzen ist derjenige, welchen das in
der bereits gefundenen Gleichung
T2 = AT'
enthaltene Resultat darstellt. Derselbe gilt, welches auch die zu der
aufzulösenden Gleichung gehörige Primzahl n von der Form 5nm+ 1
sein möge. Untersuchen wir jetzt die Folgerungen, die man aus
diesem ersten Resultate ziehen kann.
Die Gleichung T2 = AT', in welcher man der Reihe nach R2,
R3, 1R4 an die Stelle von R setzen kann, liefert drei andere, so dafs
man die vier Gleichungen erhält: