Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

232 Fünfter Hauptteil.
Bei diesen fortlaufenden Veränderungen der Funktion (p nimnmt jede
in ihr vorkommende Wurzel p("t nach und nach alle Werte p2(), p(+1),
(+2)... p(n-t) an, welche in der Reihe i p, p',",. 1 p ) enthalten sind. In dieser Reihe, welche in sich selbst zurückkehrt, kann
jedes beliebige Glied als erstes Glied genommen werden.
547.
Ist die Gleichung in p gelöst, und nennen wir 1' die gröfste
Primzahl, welche in m aufgeht (wo k' auch gleich 17 sein kann), so
dafs mi = m'7 ist, so mufs man die Periode p = (m:a) in k' Perioden
von ml ' Gliedern, nämlich in (mn':a), (nm:ah), (mn': a72),... (m': h':'-t),
wo 71 = ist, zerlegen. Diese Perioden, welche durch q, q(k),
q(2k).. q(k'k-k) bezeichnet sein mögen, sind die Wurzeln einer Gleichung in q vom Grade k', deren Koefficienten sich sämtlich in linearer
Weise durch die bekannten Wurzeln p, p', p",... ausdrücken lassen.
Die andern Perioden von in Gliedern, nämlich: (m: ag), (n:ag2),...
zerfallen ebenfalls in k' Perioden von n' Gliedern mittelst einer
Reihe von Gleichungen in q, welche aus der ersten gefundenen Gleichung entstehen, wenn man nach und nach die Buchstaben p um
eine Stelle vorrücken!äfst. Man braucht jedoch nur die erste von
diesen Gleichungen aufzulösen; denn aus einer gegebenen Wurzel q
dieser Gleichung kann man die Werte aller andern Perioden von n'
Gliedern mittelst rationaler Ausdrücke, in denen keine Unbestimmtheit übrig bleibt, ableiten. Ebenso findet man, dafs, wenn irgend
eine ganze rationale Funktion der Wurzel q oder nur einiger von
ihnen nach und nach 1k' Werte erhält, indem man jede Wurzel q(a)
den ganzen Cyklus von Werten, welche sie überhaupt annehmen kann,
durchlaufen läfst, die mit S(cp) bezeichnete Summe aller dieser Funktionen in linearer Weise durch die bekannten Wurzeln p, p', "...
ausgedrückt werden kann.
Setzt man diese Zerlegungen so lange fort, bis das letzte Glied
der Reihe m, mn', n",... gleich 2 ist, so erhält man schliefslich die
Gleichungen, welche die allgemein durch xt + x-,x dargestellten
Perioden von zwei Gliedern zu Wurzeln haben, und die somit die
vollständige Lösung des Problems geben.
548.
Die Theorie, deren hauptsächlichste Ergebnisse wir soeben angegeben haben, läfst die Auflösung der Gleichungen in p, q,... übrig,
welche in Bezug auf die Anzahl der Glieder vollständig sind und in